Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101226 / 97078
↖ ↑ ↗
← S 65.134568°
E 98.025513°		 ← 128.40 m → S 65.134568°
E 98.028259°		 →
↑
128.44 m
↓
↑
128.44 m
↓
S 65.135723°
E 98.025513°		 ← 128.40 m →
16 491 m²		 S 65.135723°
E 98.028259°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101226 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97078 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772296905517578 y=0.740650177001953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772296905517578 × 217)
    floor (0.772296905517578 × 131072)
    floor (101226.5)     		tx = 101226
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.740650177001953 × 217)
    floor (0.740650177001953 × 131072)
    floor (97078.5)     		ty = 97078
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101226 / 97078 ti = "17/101226/97078"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101226/97078.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101226 ÷ 217
    101226 ÷ 131072     		x = 0.772293090820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97078 ÷ 217
    97078 ÷ 131072     		y = 0.740646362304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772293090820312 × 2 - 1) × π
    0.544586181640625 × 3.1415926535     		Λ = 1.71086795
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.740646362304688 × 2 - 1) × π
    -0.481292724609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.51202568781581
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71086795} λ = 1.71086795}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51202568781581))-π/2
    2×atan(0.220462936244978)-π/2
    2×0.216991826578244-π/2
    0.433983653156487-1.57079632675     		φ = -1.13681267
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71086795} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.025513°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13681267 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.134568°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101226 KachelY 97078 1.71086795 -1.13681267 98.025513 -65.134568
    Oben rechts KachelX + 1 101227 KachelY 97078 1.71091588 -1.13681267 98.028259 -65.134568
    Unten links KachelX 101226 KachelY + 1 97079 1.71086795 -1.13683283 98.025513 -65.135723
    Unten rechts KachelX + 1 101227 KachelY + 1 97079 1.71091588 -1.13683283 98.028259 -65.135723
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13681267--1.13683283) × R
    2.01599999998248e-05 × 6371000     		dl = 128.439359998884m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13681267--1.13683283) × R
    2.01599999998248e-05 × 6371000     		dr = 128.439359998884m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71086795-1.71091588) × cos(-1.13681267) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.420488492671265 × 6371000     		do = 128.401219713816m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71086795-1.71091588) × cos(-1.13683283) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.420470201460729 × 6371000     		du = 128.395634272636m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13681267)-sin(-1.13683283))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.420488492671265-0.420470201460729)×R²
    abs(1.71091588-1.71086795)×1.82912105355926e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.82912105355926e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.82912105355926e-05×40589641000000     		ar = 16491.4117885824m²