Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101224 / 98088
↖ ↑ ↗
← S 66.275698°
E 98.020019°		 ← 122.88 m → S 66.275698°
E 98.022766°		 →
↑
122.83 m
↓
↑
122.83 m
↓
S 66.276803°
E 98.020019°		 ← 122.88 m →
15 094 m²		 S 66.276803°
E 98.022766°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101224 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98088 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772281646728516 y=0.748355865478516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772281646728516 × 217)
    floor (0.772281646728516 × 131072)
    floor (101224.5)     		tx = 101224
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.748355865478516 × 217)
    floor (0.748355865478516 × 131072)
    floor (98088.5)     		ty = 98088
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101224 / 98088 ti = "17/101224/98088"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101224/98088.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101224 ÷ 217
    101224 ÷ 131072     		x = 0.77227783203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98088 ÷ 217
    98088 ÷ 131072     		y = 0.74835205078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77227783203125 × 2 - 1) × π
    0.5445556640625 × 3.1415926535     		Λ = 1.71077207
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74835205078125 × 2 - 1) × π
    -0.4967041015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.56044195643207
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71077207} λ = 1.71077207}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56044195643207))-π/2
    2×atan(0.21004322073193)-π/2
    2×0.20703358906341-π/2
    0.41406717812682-1.57079632675     		φ = -1.15672915
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71077207} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.020019°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15672915 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.275698°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101224 KachelY 98088 1.71077207 -1.15672915 98.020019 -66.275698
    Oben rechts KachelX + 1 101225 KachelY 98088 1.71082001 -1.15672915 98.022766 -66.275698
    Unten links KachelX 101224 KachelY + 1 98089 1.71077207 -1.15674843 98.020019 -66.276803
    Unten rechts KachelX + 1 101225 KachelY + 1 98089 1.71082001 -1.15674843 98.022766 -66.276803
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15672915--1.15674843) × R
    1.92799999998439e-05 × 6371000     		dl = 122.832879999005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15672915--1.15674843) × R
    1.92799999998439e-05 × 6371000     		dr = 122.832879999005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71077207-1.71082001) × cos(-1.15672915) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.402336113350614 × 6371000     		do = 122.883805148755m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71077207-1.71082001) × cos(-1.15674843) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.402318462589553 × 6371000     		du = 122.878414151996m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15672915)-sin(-1.15674843))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.402336113350614-0.402318462589553)×R²
    abs(1.71082001-1.71077207)×1.76507610613053e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.76507610613053e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.76507610613053e-05×40589641000000     		ar = 15093.8405962758m²