Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101223 / 98403
↖ ↑ ↗
← S 66.621392°
E 98.017273°		 ← 121.17 m → S 66.621392°
E 98.020019°		 →
↑
121.18 m
↓
↑
121.18 m
↓
S 66.622482°
E 98.017273°		 ← 121.16 m →
14 683 m²		 S 66.622482°
E 98.020019°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101223 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98403 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772274017333984 y=0.750759124755859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772274017333984 × 217)
    floor (0.772274017333984 × 131072)
    floor (101223.5)     		tx = 101223
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.750759124755859 × 217)
    floor (0.750759124755859 × 131072)
    floor (98403.5)     		ty = 98403
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101223 / 98403 ti = "17/101223/98403"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101223/98403.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101223 ÷ 217
    101223 ÷ 131072     		x = 0.772270202636719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98403 ÷ 217
    98403 ÷ 131072     		y = 0.750755310058594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772270202636719 × 2 - 1) × π
    0.544540405273438 × 3.1415926535     		Λ = 1.71072414
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.750755310058594 × 2 - 1) × π
    -0.501510620117188 × 3.1415926535     		Φ = -1.57554207981239
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71072414} λ = 1.71072414}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57554207981239))-π/2
    2×atan(0.206895368474977)-π/2
    2×0.204016844914352-π/2
    0.408033689828704-1.57079632675     		φ = -1.16276264
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71072414} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.017273°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16276264 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.621392°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101223 KachelY 98403 1.71072414 -1.16276264 98.017273 -66.621392
    Oben rechts KachelX + 1 101224 KachelY 98403 1.71077207 -1.16276264 98.020019 -66.621392
    Unten links KachelX 101223 KachelY + 1 98404 1.71072414 -1.16278166 98.017273 -66.622482
    Unten rechts KachelX + 1 101224 KachelY + 1 98404 1.71077207 -1.16278166 98.020019 -66.622482
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16276264--1.16278166) × R
    1.90200000000917e-05 × 6371000     		dl = 121.176420000584m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16276264--1.16278166) × R
    1.90200000000917e-05 × 6371000     		dr = 121.176420000584m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71072414-1.71077207) × cos(-1.16276264) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.396805211773079 × 6371000     		do = 121.169244981681m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71072414-1.71077207) × cos(-1.16278166) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.396787753189286 × 6371000     		du = 121.163913793094m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16276264)-sin(-1.16278166))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.396805211773079-0.396787753189286)×R²
    abs(1.71077207-1.71072414)×1.7458583792429e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.7458583792429e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.7458583792429e-05×40589641000000     		ar = 14682.5323142188m²