Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101222 / 98402
↖ ↑ ↗
← S 66.620302°
E 98.014526°		 ← 121.20 m → S 66.620302°
E 98.017273°		 →
↑
121.24 m
↓
↑
121.24 m
↓
S 66.621392°
E 98.014526°		 ← 121.19 m →
14 694 m²		 S 66.621392°
E 98.017273°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101222 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98402 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772266387939453 y=0.750751495361328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772266387939453 × 217)
    floor (0.772266387939453 × 131072)
    floor (101222.5)     		tx = 101222
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.750751495361328 × 217)
    floor (0.750751495361328 × 131072)
    floor (98402.5)     		ty = 98402
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101222 / 98402 ti = "17/101222/98402"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101222/98402.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101222 ÷ 217
    101222 ÷ 131072     		x = 0.772262573242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98402 ÷ 217
    98402 ÷ 131072     		y = 0.750747680664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772262573242188 × 2 - 1) × π
    0.544525146484375 × 3.1415926535     		Λ = 1.71067620
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.750747680664062 × 2 - 1) × π
    -0.501495361328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.57549414291277
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71067620} λ = 1.71067620}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57549414291277))-π/2
    2×atan(0.206905286635208)-π/2
    2×0.204026355929469-π/2
    0.408052711858937-1.57079632675     		φ = -1.16274361
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71067620} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.014526°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16274361 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.620302°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101222 KachelY 98402 1.71067620 -1.16274361 98.014526 -66.620302
    Oben rechts KachelX + 1 101223 KachelY 98402 1.71072414 -1.16274361 98.017273 -66.620302
    Unten links KachelX 101222 KachelY + 1 98403 1.71067620 -1.16276264 98.014526 -66.621392
    Unten rechts KachelX + 1 101223 KachelY + 1 98403 1.71072414 -1.16276264 98.017273 -66.621392
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16274361--1.16276264) × R
    1.9030000000031e-05 × 6371000     		dl = 121.240130000197m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16274361--1.16276264) × R
    1.9030000000031e-05 × 6371000     		dr = 121.240130000197m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71067620-1.71072414) × cos(-1.16274361) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.396822679392276 × 6371000     		do = 121.199860502089m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71067620-1.71072414) × cos(-1.16276264) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.396805211773079 × 6371000     		du = 121.19452544157m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16274361)-sin(-1.16276264))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.396822679392276-0.396805211773079)×R²
    abs(1.71072414-1.71067620)×1.74676191968537e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.74676191968537e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.74676191968537e-05×40589641000000     		ar = 14693.9634320178m²