Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101222 / 97964
↖ ↑ ↗
← S 66.138299°
E 98.014526°		 ← 123.55 m → S 66.138299°
E 98.017273°		 →
↑
123.53 m
↓
↑
123.53 m
↓
S 66.139410°
E 98.014526°		 ← 123.55 m →
15 263 m²		 S 66.139410°
E 98.017273°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101222 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97964 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772266387939453 y=0.747409820556641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772266387939453 × 217)
    floor (0.772266387939453 × 131072)
    floor (101222.5)     		tx = 101222
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.747409820556641 × 217)
    floor (0.747409820556641 × 131072)
    floor (97964.5)     		ty = 97964
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101222 / 97964 ti = "17/101222/97964"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101222/97964.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101222 ÷ 217
    101222 ÷ 131072     		x = 0.772262573242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97964 ÷ 217
    97964 ÷ 131072     		y = 0.747406005859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772262573242188 × 2 - 1) × π
    0.544525146484375 × 3.1415926535     		Λ = 1.71067620
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.747406005859375 × 2 - 1) × π
    -0.49481201171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.55449778087918
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71067620} λ = 1.71067620}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55449778087918))-π/2
    2×atan(0.211295472625027)-π/2
    2×0.20823262569395-π/2
    0.4164652513879-1.57079632675     		φ = -1.15433108
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71067620} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.014526°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15433108 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.138299°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101222 KachelY 97964 1.71067620 -1.15433108 98.014526 -66.138299
    Oben rechts KachelX + 1 101223 KachelY 97964 1.71072414 -1.15433108 98.017273 -66.138299
    Unten links KachelX 101222 KachelY + 1 97965 1.71067620 -1.15435047 98.014526 -66.139410
    Unten rechts KachelX + 1 101223 KachelY + 1 97965 1.71072414 -1.15435047 98.017273 -66.139410
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15433108--1.15435047) × R
    1.93900000000635e-05 × 6371000     		dl = 123.533690000405m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15433108--1.15435047) × R
    1.93900000000635e-05 × 6371000     		dr = 123.533690000405m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71067620-1.71072414) × cos(-1.15433108) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.404530368347528 × 6371000     		do = 123.553987104935m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71067620-1.71072414) × cos(-1.15435047) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.404512635640156 × 6371000     		du = 123.548571079664m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15433108)-sin(-1.15435047))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.404530368347528-0.404512635640156)×R²
    abs(1.71072414-1.71067620)×1.77327073719868e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.77327073719868e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.77327073719868e-05×40589641000000     		ar = 15262.7454110904m²