Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101221 / 99235
↖ ↑ ↗
← S 67.511720°
E 98.011780°		 ← 116.82 m → S 67.511720°
E 98.014526°		 →
↑
116.84 m
↓
↑
116.84 m
↓
S 67.512771°
E 98.011780°		 ← 116.82 m →
13 650 m²		 S 67.512771°
E 98.014526°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101221 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99235 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772258758544922 y=0.757106781005859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772258758544922 × 217)
    floor (0.772258758544922 × 131072)
    floor (101221.5)     		tx = 101221
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.757106781005859 × 217)
    floor (0.757106781005859 × 131072)
    floor (99235.5)     		ty = 99235
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101221 / 99235 ti = "17/101221/99235"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101221/99235.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101221 ÷ 217
    101221 ÷ 131072     		x = 0.772254943847656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99235 ÷ 217
    99235 ÷ 131072     		y = 0.757102966308594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772254943847656 × 2 - 1) × π
    0.544509887695312 × 3.1415926535     		Λ = 1.71062826
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.757102966308594 × 2 - 1) × π
    -0.514205932617188 × 3.1415926535     		Φ = -1.61542558029627
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71062826} λ = 1.71062826}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61542558029627))-π/2
    2×atan(0.198806044499212)-π/2
    2×0.196247262562205-π/2
    0.392494525124409-1.57079632675     		φ = -1.17830180
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71062826} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.011780°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17830180 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.511720°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101221 KachelY 99235 1.71062826 -1.17830180 98.011780 -67.511720
    Oben rechts KachelX + 1 101222 KachelY 99235 1.71067620 -1.17830180 98.014526 -67.511720
    Unten links KachelX 101221 KachelY + 1 99236 1.71062826 -1.17832014 98.011780 -67.512771
    Unten rechts KachelX + 1 101222 KachelY + 1 99236 1.71067620 -1.17832014 98.014526 -67.512771
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17830180--1.17832014) × R
    1.83400000000056e-05 × 6371000     		dl = 116.844140000036m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17830180--1.17832014) × R
    1.83400000000056e-05 × 6371000     		dr = 116.844140000036m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71062826-1.71067620) × cos(-1.17830180) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.382494440271231 × 6371000     		do = 116.82364746565m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71062826-1.71067620) × cos(-1.17832014) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.382477494820982 × 6371000     		du = 116.818471888968m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17830180)-sin(-1.17832014))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.382494440271231-0.382477494820982)×R²
    abs(1.71067620-1.71062826)×1.69454502489397e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.69454502489397e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.69454502489397e-05×40589641000000     		ar = 13649.856252237m²