Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101220 / 99261
↖ ↑ ↗
← S 67.539019°
E 98.009033°		 ← 116.66 m → S 67.539019°
E 98.011780°		 →
↑
116.72 m
↓
↑
116.72 m
↓
S 67.540068°
E 98.009033°		 ← 116.66 m →
13 616 m²		 S 67.540068°
E 98.011780°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101220 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99261 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772251129150391 y=0.757305145263672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772251129150391 × 217)
    floor (0.772251129150391 × 131072)
    floor (101220.5)     		tx = 101220
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.757305145263672 × 217)
    floor (0.757305145263672 × 131072)
    floor (99261.5)     		ty = 99261
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101220 / 99261 ti = "17/101220/99261"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101220/99261.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101220 ÷ 217
    101220 ÷ 131072     		x = 0.772247314453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99261 ÷ 217
    99261 ÷ 131072     		y = 0.757301330566406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772247314453125 × 2 - 1) × π
    0.54449462890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.71058033
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.757301330566406 × 2 - 1) × π
    -0.514602661132812 × 3.1415926535     		Φ = -1.61667193968639
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71058033} λ = 1.71058033}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61667193968639))-π/2
    2×atan(0.198558415068526)-π/2
    2×0.196009036998175-π/2
    0.392018073996349-1.57079632675     		φ = -1.17877825
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71058033} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.009033°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17877825 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.539019°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101220 KachelY 99261 1.71058033 -1.17877825 98.009033 -67.539019
    Oben rechts KachelX + 1 101221 KachelY 99261 1.71062826 -1.17877825 98.011780 -67.539019
    Unten links KachelX 101220 KachelY + 1 99262 1.71058033 -1.17879657 98.009033 -67.540068
    Unten rechts KachelX + 1 101221 KachelY + 1 99262 1.71062826 -1.17879657 98.011780 -67.540068
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17877825--1.17879657) × R
    1.83200000001271e-05 × 6371000     		dl = 116.71672000081m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17877825--1.17879657) × R
    1.83200000001271e-05 × 6371000     		dr = 116.71672000081m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71058033-1.71062826) × cos(-1.17877825) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.382054177183435 × 6371000     		do = 116.664839114785m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71058033-1.71062826) × cos(-1.17879657) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.38203724687585 × 6371000     		du = 116.659669241692m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17877825)-sin(-1.17879657))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.382054177183435-0.38203724687585)×R²
    abs(1.71062826-1.71058033)×1.69303075848726e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.69303075848726e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.69303075848726e-05×40589641000000     		ar = 13616.4356559392m²