Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101219 / 98263
↖ ↑ ↗
← S 66.468341°
E 98.006287°		 ← 121.94 m → S 66.468341°
E 98.009033°		 →
↑
121.88 m
↓
↑
121.88 m
↓
S 66.469437°
E 98.006287°		 ← 121.94 m →
14 862 m²		 S 66.469437°
E 98.009033°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101219 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98263 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772243499755859 y=0.749691009521484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772243499755859 × 217)
    floor (0.772243499755859 × 131072)
    floor (101219.5)     		tx = 101219
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.749691009521484 × 217)
    floor (0.749691009521484 × 131072)
    floor (98263.5)     		ty = 98263
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101219 / 98263 ti = "17/101219/98263"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101219/98263.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101219 ÷ 217
    101219 ÷ 131072     		x = 0.772239685058594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98263 ÷ 217
    98263 ÷ 131072     		y = 0.749687194824219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772239685058594 × 2 - 1) × π
    0.544479370117188 × 3.1415926535     		Λ = 1.71053239
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.749687194824219 × 2 - 1) × π
    -0.499374389648438 × 3.1415926535     		Φ = -1.56883091386558
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71053239} λ = 1.71053239}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56883091386558))-π/2
    2×atan(0.208288547324634)-π/2
    2×0.205352465775991-π/2
    0.410704931551983-1.57079632675     		φ = -1.16009140
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71053239} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.006287°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16009140 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.468341°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101219 KachelY 98263 1.71053239 -1.16009140 98.006287 -66.468341
    Oben rechts KachelX + 1 101220 KachelY 98263 1.71058033 -1.16009140 98.009033 -66.468341
    Unten links KachelX 101219 KachelY + 1 98264 1.71053239 -1.16011053 98.006287 -66.469437
    Unten rechts KachelX + 1 101220 KachelY + 1 98264 1.71058033 -1.16011053 98.009033 -66.469437
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16009140--1.16011053) × R
    1.91300000000894e-05 × 6371000     		dl = 121.877230000569m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16009140--1.16011053) × R
    1.91300000000894e-05 × 6371000     		dr = 121.877230000569m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71053239-1.71058033) × cos(-1.16009140) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.399255731934215 × 6371000     		do = 121.942977375169m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71053239-1.71058033) × cos(-1.16011053) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.399238192719525 × 6371000     		du = 121.937620447544m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16009140)-sin(-1.16011053))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.399255731934215-0.399238192719525)×R²
    abs(1.71058033-1.71053239)×1.75392146897213e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.75392146897213e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.75392146897213e-05×40589641000000     		ar = 14861.7458572424m²