Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 101219 / 98019
↖ ↑ ↗
← S 66.199335°
E 98.006287°		 ← 123.26 m → S 66.199335°
E 98.009033°		 →
↑
123.22 m
↓
↑
123.22 m
↓
S 66.200443°
E 98.006287°		 ← 123.25 m →
15 187 m²		 S 66.200443°
E 98.009033°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101219 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98019 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772243499755859 y=0.747829437255859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772243499755859 × 217)
    floor (0.772243499755859 × 131072)
    floor (101219.5)     		tx = 101219
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.747829437255859 × 217)
    floor (0.747829437255859 × 131072)
    floor (98019.5)     		ty = 98019
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101219 / 98019 ti = "17/101219/98019"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101219/98019.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101219 ÷ 217
    101219 ÷ 131072     		x = 0.772239685058594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98019 ÷ 217
    98019 ÷ 131072     		y = 0.747825622558594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772239685058594 × 2 - 1) × π
    0.544479370117188 × 3.1415926535     		Λ = 1.71053239
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.747825622558594 × 2 - 1) × π
    -0.495651245117188 × 3.1415926535     		Φ = -1.55713431035828
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71053239} λ = 1.71053239}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55713431035828))-π/2
    2×atan(0.210739119625473)-π/2
    2×0.207699990064499-π/2
    0.415399980128998-1.57079632675     		φ = -1.15539635
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71053239} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.006287°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15539635 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.199335°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101219 KachelY 98019 1.71053239 -1.15539635 98.006287 -66.199335
    Oben rechts KachelX + 1 101220 KachelY 98019 1.71058033 -1.15539635 98.009033 -66.199335
    Unten links KachelX 101219 KachelY + 1 98020 1.71053239 -1.15541569 98.006287 -66.200443
    Unten rechts KachelX + 1 101220 KachelY + 1 98020 1.71058033 -1.15541569 98.009033 -66.200443
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15539635--1.15541569) × R
    1.93400000001454e-05 × 6371000     		dl = 123.215140000926m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15539635--1.15541569) × R
    1.93400000001454e-05 × 6371000     		dr = 123.215140000926m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71053239-1.71058033) × cos(-1.15539635) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.403555923417244 × 6371000     		do = 123.256366541014m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71053239-1.71058033) × cos(-1.15541569) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.403538228112447 × 6371000     		du = 123.250961939452m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15539635)-sin(-1.15541569))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.403555923417244-0.403538228112447)×R²
    abs(1.71058033-1.71053239)×1.76953047975603e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.76953047975603e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.76953047975603e-05×40589641000000     		ar = 15186.717495438m²