Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 101217 / 98081
↖ ↑ ↗
← S 66.267962°
E 98.000794°		 ← 122.90 m → S 66.267962°
E 98.003540°		 →
↑
122.90 m
↓
↑
122.90 m
↓
S 66.269067°
E 98.000794°		 ← 122.89 m →
15 103 m²		 S 66.269067°
E 98.003540°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101217 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98081 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772228240966797 y=0.748302459716797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772228240966797 × 217)
    floor (0.772228240966797 × 131072)
    floor (101217.5)     		tx = 101217
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.748302459716797 × 217)
    floor (0.748302459716797 × 131072)
    floor (98081.5)     		ty = 98081
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101217 / 98081 ti = "17/101217/98081"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101217/98081.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101217 ÷ 217
    101217 ÷ 131072     		x = 0.772224426269531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98081 ÷ 217
    98081 ÷ 131072     		y = 0.748298645019531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772224426269531 × 2 - 1) × π
    0.544448852539062 × 3.1415926535     		Λ = 1.71043652
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.748298645019531 × 2 - 1) × π
    -0.496597290039062 × 3.1415926535     		Φ = -1.56010639813473
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71043652} λ = 1.71043652}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56010639813473))-π/2
    2×atan(0.210113714304137)-π/2
    2×0.207101103043635-π/2
    0.414202206087271-1.57079632675     		φ = -1.15659412
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71043652} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.000794°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15659412 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.267962°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101217 KachelY 98081 1.71043652 -1.15659412 98.000794 -66.267962
    Oben rechts KachelX + 1 101218 KachelY 98081 1.71048445 -1.15659412 98.003540 -66.267962
    Unten links KachelX 101217 KachelY + 1 98082 1.71043652 -1.15661341 98.000794 -66.269067
    Unten rechts KachelX + 1 101218 KachelY + 1 98082 1.71048445 -1.15661341 98.003540 -66.269067
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15659412--1.15661341) × R
    1.92900000000051e-05 × 6371000     		dl = 122.896590000033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15659412--1.15661341) × R
    1.92900000000051e-05 × 6371000     		dr = 122.896590000033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71043652-1.71048445) × cos(-1.15659412) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.402459728570756 × 6371000     		do = 122.89591970969m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71043652-1.71048445) × cos(-1.15661341) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.402442069702811 × 6371000     		du = 122.890527361927m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15659412)-sin(-1.15661341))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.402459728570756-0.402442069702811)×R²
    abs(1.71048445-1.71043652)×1.76588679449141e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.76588679449141e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.76588679449141e-05×40589641000000     		ar = 15103.1581070985m²