Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101217 / 97111
↖ ↑ ↗
← S 65.172653°
E 98.000794°		 ← 128.22 m → S 65.172653°
E 98.003540°		 →
↑
128.25 m
↓
↑
128.25 m
↓
S 65.173806°
E 98.000794°		 ← 128.21 m →
16 443 m²		 S 65.173806°
E 98.003540°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101217 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97111 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772228240966797 y=0.740901947021484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772228240966797 × 217)
    floor (0.772228240966797 × 131072)
    floor (101217.5)     		tx = 101217
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.740901947021484 × 217)
    floor (0.740901947021484 × 131072)
    floor (97111.5)     		ty = 97111
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101217 / 97111 ti = "17/101217/97111"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101217/97111.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101217 ÷ 217
    101217 ÷ 131072     		x = 0.772224426269531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97111 ÷ 217
    97111 ÷ 131072     		y = 0.740898132324219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772224426269531 × 2 - 1) × π
    0.544448852539062 × 3.1415926535     		Λ = 1.71043652
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.740898132324219 × 2 - 1) × π
    -0.481796264648438 × 3.1415926535     		Φ = -1.51360760550327
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71043652} λ = 1.71043652}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51360760550327))-π/2
    2×atan(0.220114457731536)-π/2
    2×0.216659476076887-π/2
    0.433318952153774-1.57079632675     		φ = -1.13747737
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71043652} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.000794°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13747737 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.172653°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101217 KachelY 97111 1.71043652 -1.13747737 98.000794 -65.172653
    Oben rechts KachelX + 1 101218 KachelY 97111 1.71048445 -1.13747737 98.003540 -65.172653
    Unten links KachelX 101217 KachelY + 1 97112 1.71043652 -1.13749750 98.000794 -65.173806
    Unten rechts KachelX + 1 101218 KachelY + 1 97112 1.71048445 -1.13749750 98.003540 -65.173806
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13747737--1.13749750) × R
    2.01300000000071e-05 × 6371000     		dl = 128.248230000045m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13747737--1.13749750) × R
    2.01300000000071e-05 × 6371000     		dr = 128.248230000045m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71043652-1.71048445) × cos(-1.13747737) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.419885318929134 × 6371000     		do = 128.217033355476m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71043652-1.71048445) × cos(-1.13749750) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.419867049315637 × 6371000     		du = 128.211454509211m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13747737)-sin(-1.13749750))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.419885318929134-0.419867049315637)×R²
    abs(1.71048445-1.71043652)×1.82696134969906e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.82696134969906e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.82696134969906e-05×40589641000000     		ar = 16443.2498457452m²