Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101216 / 98464
↖ ↑ ↗
← S 66.687784°
E 97.998047°		 ← 120.87 m → S 66.687784°
E 98.000794°		 →
↑
120.86 m
↓
↑
120.86 m
↓
S 66.688871°
E 97.998047°		 ← 120.86 m →
14 608 m²		 S 66.688871°
E 98.000794°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101216 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98464 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772220611572266 y=0.751224517822266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772220611572266 × 217)
    floor (0.772220611572266 × 131072)
    floor (101216.5)     		tx = 101216
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.751224517822266 × 217)
    floor (0.751224517822266 × 131072)
    floor (98464.5)     		ty = 98464
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101216 / 98464 ti = "17/101216/98464"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101216/98464.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101216 ÷ 217
    101216 ÷ 131072     		x = 0.772216796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98464 ÷ 217
    98464 ÷ 131072     		y = 0.751220703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772216796875 × 2 - 1) × π
    0.54443359375 × 3.1415926535     		Λ = 1.71038858
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.751220703125 × 2 - 1) × π
    -0.50244140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.57846623068921
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71038858} λ = 1.71038858}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57846623068921))-π/2
    2×atan(0.206291258886093)-π/2
    2×0.203437463788568-π/2
    0.406874927577137-1.57079632675     		φ = -1.16392140
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71038858} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.998047°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16392140 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.687784°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101216 KachelY 98464 1.71038858 -1.16392140 97.998047 -66.687784
    Oben rechts KachelX + 1 101217 KachelY 98464 1.71043652 -1.16392140 98.000794 -66.687784
    Unten links KachelX 101216 KachelY + 1 98465 1.71038858 -1.16394037 97.998047 -66.688871
    Unten rechts KachelX + 1 101217 KachelY + 1 98465 1.71043652 -1.16394037 98.000794 -66.688871
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16392140--1.16394037) × R
    1.89699999999515e-05 × 6371000     		dl = 120.857869999691m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16392140--1.16394037) × R
    1.89699999999515e-05 × 6371000     		dr = 120.857869999691m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71038858-1.71043652) × cos(-1.16392140) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.395741316516025 × 6371000     		do = 120.869584445402m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71038858-1.71043652) × cos(-1.16394037) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.395723895117191 × 6371000     		du = 120.864263501771m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16392140)-sin(-1.16394037))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.395741316516025-0.395723895117191)×R²
    abs(1.71043652-1.71038858)×1.74213988339833e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.74213988339833e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.74213988339833e-05×40589641000000     		ar = 14607.7189854165m²