Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 101216 / 98208
↖ ↑ ↗
← S 66.407955°
E 97.998047°		 ← 122.24 m → S 66.407955°
E 98.000794°		 →
↑
122.26 m
↓
↑
122.26 m
↓
S 66.409055°
E 97.998047°		 ← 122.23 m →
14 944 m²		 S 66.409055°
E 98.000794°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101216 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98208 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772220611572266 y=0.749271392822266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772220611572266 × 217)
    floor (0.772220611572266 × 131072)
    floor (101216.5)     		tx = 101216
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.749271392822266 × 217)
    floor (0.749271392822266 × 131072)
    floor (98208.5)     		ty = 98208
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101216 / 98208 ti = "17/101216/98208"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101216/98208.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101216 ÷ 217
    101216 ÷ 131072     		x = 0.772216796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98208 ÷ 217
    98208 ÷ 131072     		y = 0.749267578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772216796875 × 2 - 1) × π
    0.54443359375 × 3.1415926535     		Λ = 1.71038858
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.749267578125 × 2 - 1) × π
    -0.49853515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.56619438438647
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71038858} λ = 1.71038858}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56619438438647))-π/2
    2×atan(0.208838430793269)-π/2
    2×0.205879427086346-π/2
    0.411758854172693-1.57079632675     		φ = -1.15903747
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71038858} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.998047°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15903747 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.407955°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101216 KachelY 98208 1.71038858 -1.15903747 97.998047 -66.407955
    Oben rechts KachelX + 1 101217 KachelY 98208 1.71043652 -1.15903747 98.000794 -66.407955
    Unten links KachelX 101216 KachelY + 1 98209 1.71038858 -1.15905666 97.998047 -66.409055
    Unten rechts KachelX + 1 101217 KachelY + 1 98209 1.71043652 -1.15905666 98.000794 -66.409055
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15903747--1.15905666) × R
    1.91900000001688e-05 × 6371000     		dl = 122.259490001075m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15903747--1.15905666) × R
    1.91900000001688e-05 × 6371000     		dr = 122.259490001075m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71038858-1.71043652) × cos(-1.15903747) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.400221794779465 × 6371000     		do = 122.238037834566m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71038858-1.71043652) × cos(-1.15905666) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.400204208638446 × 6371000     		du = 122.232666574432m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15903747)-sin(-1.15905666))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.400221794779465-0.400204208638446)×R²
    abs(1.71043652-1.71038858)×1.75861410189881e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.75861410189881e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.75861410189881e-05×40589641000000     		ar = 14944.4318212443m²