Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101215 / 98017
↖ ↑ ↗
← S 66.197117°
E 97.995300°		 ← 123.27 m → S 66.197117°
E 97.998047°		 →
↑
123.28 m
↓
↑
123.28 m
↓
S 66.198226°
E 97.995300°		 ← 123.26 m →
15 196 m²		 S 66.198226°
E 97.998047°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101215 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98017 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772212982177734 y=0.747814178466797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772212982177734 × 217)
    floor (0.772212982177734 × 131072)
    floor (101215.5)     		tx = 101215
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.747814178466797 × 217)
    floor (0.747814178466797 × 131072)
    floor (98017.5)     		ty = 98017
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101215 / 98017 ti = "17/101215/98017"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101215/98017.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101215 ÷ 217
    101215 ÷ 131072     		x = 0.772209167480469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98017 ÷ 217
    98017 ÷ 131072     		y = 0.747810363769531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772209167480469 × 2 - 1) × π
    0.544418334960938 × 3.1415926535     		Λ = 1.71034064
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.747810363769531 × 2 - 1) × π
    -0.495620727539062 × 3.1415926535     		Φ = -1.55703843655904
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71034064} λ = 1.71034064}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55703843655904))-π/2
    2×atan(0.210759324954085)-π/2
    2×0.20771933613294-π/2
    0.415438672265881-1.57079632675     		φ = -1.15535765
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71034064} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.995300°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15535765 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.197117°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101215 KachelY 98017 1.71034064 -1.15535765 97.995300 -66.197117
    Oben rechts KachelX + 1 101216 KachelY 98017 1.71038858 -1.15535765 97.998047 -66.197117
    Unten links KachelX 101215 KachelY + 1 98018 1.71034064 -1.15537700 97.995300 -66.198226
    Unten rechts KachelX + 1 101216 KachelY + 1 98018 1.71038858 -1.15537700 97.998047 -66.198226
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15535765--1.15537700) × R
    1.93500000000846e-05 × 6371000     		dl = 123.278850000539m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15535765--1.15537700) × R
    1.93500000000846e-05 × 6371000     		dr = 123.278850000539m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71034064-1.71038858) × cos(-1.15535765) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.403591331872787 × 6371000     		do = 123.267181194751m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71034064-1.71038858) × cos(-1.15537700) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.403573627720569 × 6371000     		du = 123.261773890959m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15535765)-sin(-1.15537700))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.403591331872787-0.403573627720569)×R²
    abs(1.71038858-1.71034064)×1.77041522179122e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.77041522179122e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.77041522179122e-05×40589641000000     		ar = 15195.9030380447m²