Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101214 / 97115
↖ ↑ ↗
← S 65.177265°
E 97.992553°		 ← 128.22 m → S 65.177265°
E 97.995300°		 →
↑
128.18 m
↓
↑
128.18 m
↓
S 65.178418°
E 97.992553°		 ← 128.22 m →
16 436 m²		 S 65.178418°
E 97.995300°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101214 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97115 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772205352783203 y=0.740932464599609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772205352783203 × 217)
    floor (0.772205352783203 × 131072)
    floor (101214.5)     		tx = 101214
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.740932464599609 × 217)
    floor (0.740932464599609 × 131072)
    floor (97115.5)     		ty = 97115
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101214 / 97115 ti = "17/101214/97115"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101214/97115.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101214 ÷ 217
    101214 ÷ 131072     		x = 0.772201538085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97115 ÷ 217
    97115 ÷ 131072     		y = 0.740928649902344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772201538085938 × 2 - 1) × π
    0.544403076171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.71029270
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.740928649902344 × 2 - 1) × π
    -0.481857299804688 × 3.1415926535     		Φ = -1.51379935310175
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71029270} λ = 1.71029270}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51379935310175))-π/2
    2×atan(0.220072255359106)-π/2
    2×0.21661922357915-π/2
    0.4332384471583-1.57079632675     		φ = -1.13755788
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71029270} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.992553°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13755788 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.177265°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101214 KachelY 97115 1.71029270 -1.13755788 97.992553 -65.177265
    Oben rechts KachelX + 1 101215 KachelY 97115 1.71034064 -1.13755788 97.995300 -65.177265
    Unten links KachelX 101214 KachelY + 1 97116 1.71029270 -1.13757800 97.992553 -65.178418
    Unten rechts KachelX + 1 101215 KachelY + 1 97116 1.71034064 -1.13757800 97.995300 -65.178418
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13755788--1.13757800) × R
    2.01200000000679e-05 × 6371000     		dl = 128.184520000432m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13755788--1.13757800) × R
    2.01200000000679e-05 × 6371000     		dr = 128.184520000432m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71029270-1.71034064) × cos(-1.13755788) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.419812248530462 × 6371000     		do = 128.221466668396m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71029270-1.71034064) × cos(-1.13757800) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.419793987312739 × 6371000     		du = 128.21588922246m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13755788)-sin(-1.13757800))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.419812248530462-0.419793987312739)×R²
    abs(1.71034064-1.71029270)×1.82612177228036e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.82612177228036e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.82612177228036e-05×40589641000000     		ar = 16435.6496880453m²