Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 101213 / 98745
↖ ↑ ↗
← S 66.991330°
E 97.989807°		 ← 119.36 m → S 66.991330°
E 97.992553°		 →
↑
119.39 m
↓
↑
119.39 m
↓
S 66.992404°
E 97.989807°		 ← 119.35 m →
14 250 m²		 S 66.992404°
E 97.992553°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101213 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98745 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772197723388672 y=0.753368377685547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772197723388672 × 217)
    floor (0.772197723388672 × 131072)
    floor (101213.5)     		tx = 101213
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.753368377685547 × 217)
    floor (0.753368377685547 × 131072)
    floor (98745.5)     		ty = 98745
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101213 / 98745 ti = "17/101213/98745"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101213/98745.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101213 ÷ 217
    101213 ÷ 131072     		x = 0.772193908691406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98745 ÷ 217
    98745 ÷ 131072     		y = 0.753364562988281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772193908691406 × 2 - 1) × π
    0.544387817382812 × 3.1415926535     		Λ = 1.71024477
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.753364562988281 × 2 - 1) × π
    -0.506729125976562 × 3.1415926535     		Φ = -1.59193649948244
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71024477} λ = 1.71024477}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59193649948244))-π/2
    2×atan(0.203531092009543)-π/2
    2×0.200788523586312-π/2
    0.401577047172624-1.57079632675     		φ = -1.16921928
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71024477} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.989807°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16921928 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.991330°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101213 KachelY 98745 1.71024477 -1.16921928 97.989807 -66.991330
    Oben rechts KachelX + 1 101214 KachelY 98745 1.71029270 -1.16921928 97.992553 -66.991330
    Unten links KachelX 101213 KachelY + 1 98746 1.71024477 -1.16923802 97.989807 -66.992404
    Unten rechts KachelX + 1 101214 KachelY + 1 98746 1.71029270 -1.16923802 97.992553 -66.992404
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16921928--1.16923802) × R
    1.87400000000171e-05 × 6371000     		dl = 119.392540000109m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16921928--1.16923802) × R
    1.87400000000171e-05 × 6371000     		dr = 119.392540000109m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71024477-1.71029270) × cos(-1.16921928) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.390870413738522 × 6371000     		do = 119.356983006208m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71024477-1.71029270) × cos(-1.16923802) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.390853164517135 × 6371000     		du = 119.351715748949m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16921928)-sin(-1.16923802))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.390870413738522-0.390853164517135)×R²
    abs(1.71029270-1.71024477)×1.72492213875164e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.72492213875164e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.72492213875164e-05×40589641000000     		ar = 14250.0189326799m²