Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101212 / 98411
↖ ↑ ↗
← S 66.630109°
E 97.987060°		 ← 121.15 m → S 66.630109°
E 97.989807°		 →
↑
121.18 m
↓
↑
121.18 m
↓
S 66.631199°
E 97.987060°		 ← 121.15 m →
14 680 m²		 S 66.631199°
E 97.989807°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101212 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98411 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772190093994141 y=0.750820159912109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772190093994141 × 217)
    floor (0.772190093994141 × 131072)
    floor (101212.5)     		tx = 101212
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.750820159912109 × 217)
    floor (0.750820159912109 × 131072)
    floor (98411.5)     		ty = 98411
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101212 / 98411 ti = "17/101212/98411"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101212/98411.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101212 ÷ 217
    101212 ÷ 131072     		x = 0.772186279296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98411 ÷ 217
    98411 ÷ 131072     		y = 0.750816345214844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772186279296875 × 2 - 1) × π
    0.54437255859375 × 3.1415926535     		Λ = 1.71019683
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.750816345214844 × 2 - 1) × π
    -0.501632690429688 × 3.1415926535     		Φ = -1.57592557500935
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71019683} λ = 1.71019683}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57592557500935))-π/2
    2×atan(0.206816040306851)-π/2
    2×0.203940771857764-π/2
    0.407881543715529-1.57079632675     		φ = -1.16291478
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71019683} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.987060°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16291478 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.630109°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101212 KachelY 98411 1.71019683 -1.16291478 97.987060 -66.630109
    Oben rechts KachelX + 1 101213 KachelY 98411 1.71024477 -1.16291478 97.989807 -66.630109
    Unten links KachelX 101212 KachelY + 1 98412 1.71019683 -1.16293380 97.987060 -66.631199
    Unten rechts KachelX + 1 101213 KachelY + 1 98412 1.71024477 -1.16293380 97.989807 -66.631199
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16291478--1.16293380) × R
    1.90200000000917e-05 × 6371000     		dl = 121.176420000584m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16291478--1.16293380) × R
    1.90200000000917e-05 × 6371000     		dr = 121.176420000584m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71019683-1.71024477) × cos(-1.16291478) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.396665557443179 × 6371000     		do = 121.151871415077m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71019683-1.71024477) × cos(-1.16293380) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.396648097711378 × 6371000     		du = 121.146538763572m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16291478)-sin(-1.16293380))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.396665557443179-0.396648097711378)×R²
    abs(1.71024477-1.71019683)×1.74597318014502e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.74597318014502e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.74597318014502e-05×40589641000000     		ar = 14680.4269590599m²