Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101212 / 98134
↖ ↑ ↗
← S 66.326479°
E 97.987060°		 ← 122.64 m → S 66.326479°
E 97.989807°		 →
↑
122.64 m
↓
↑
122.64 m
↓
S 66.327582°
E 97.987060°		 ← 122.63 m →
15 040 m²		 S 66.327582°
E 97.989807°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101212 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98134 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772190093994141 y=0.748706817626953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772190093994141 × 217)
    floor (0.772190093994141 × 131072)
    floor (101212.5)     		tx = 101212
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.748706817626953 × 217)
    floor (0.748706817626953 × 131072)
    floor (98134.5)     		ty = 98134
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101212 / 98134 ti = "17/101212/98134"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101212/98134.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101212 ÷ 217
    101212 ÷ 131072     		x = 0.772186279296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98134 ÷ 217
    98134 ÷ 131072     		y = 0.748703002929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772186279296875 × 2 - 1) × π
    0.54437255859375 × 3.1415926535     		Λ = 1.71019683
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.748703002929688 × 2 - 1) × π
    -0.497406005859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.56264705381459
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71019683} λ = 1.71019683}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56264705381459))-π/2
    2×atan(0.209580565263329)-π/2
    2×0.206590441417397-π/2
    0.413180882834793-1.57079632675     		φ = -1.15761544
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71019683} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.987060°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15761544 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.326479°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101212 KachelY 98134 1.71019683 -1.15761544 97.987060 -66.326479
    Oben rechts KachelX + 1 101213 KachelY 98134 1.71024477 -1.15761544 97.989807 -66.326479
    Unten links KachelX 101212 KachelY + 1 98135 1.71019683 -1.15763469 97.987060 -66.327582
    Unten rechts KachelX + 1 101213 KachelY + 1 98135 1.71024477 -1.15763469 97.989807 -66.327582
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15761544--1.15763469) × R
    1.92500000000262e-05 × 6371000     		dl = 122.641750000167m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15761544--1.15763469) × R
    1.92500000000262e-05 × 6371000     		dr = 122.641750000167m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71019683-1.71024477) × cos(-1.15761544) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.401524564008537 × 6371000     		do = 122.635937090972m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71019683-1.71024477) × cos(-1.15763469) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.401506933855252 × 6371000     		du = 122.630552388359m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15761544)-sin(-1.15763469))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.401524564008537-0.401506933855252)×R²
    abs(1.71024477-1.71019683)×1.76301532848755e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.76301532848755e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.76301532848755e-05×40589641000000     		ar = 15039.9557434801m²