Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101210 / 98555
↖ ↑ ↗
← S 66.786497°
E 97.981568°		 ← 120.36 m → S 66.786497°
E 97.984314°		 →
↑
120.35 m
↓
↑
120.35 m
↓
S 66.787579°
E 97.981568°		 ← 120.36 m →
14 485 m²		 S 66.787579°
E 97.984314°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101210 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98555 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772174835205078 y=0.751918792724609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772174835205078 × 217)
    floor (0.772174835205078 × 131072)
    floor (101210.5)     		tx = 101210
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.751918792724609 × 217)
    floor (0.751918792724609 × 131072)
    floor (98555.5)     		ty = 98555
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101210 / 98555 ti = "17/101210/98555"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101210/98555.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101210 ÷ 217
    101210 ÷ 131072     		x = 0.772171020507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98555 ÷ 217
    98555 ÷ 131072     		y = 0.751914978027344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772171020507812 × 2 - 1) × π
    0.544342041015625 × 3.1415926535     		Λ = 1.71010096
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.751914978027344 × 2 - 1) × π
    -0.503829956054688 × 3.1415926535     		Φ = -1.58282848855463
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71010096} λ = 1.71010096}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58282848855463))-π/2
    2×atan(0.20539332315697)-π/2
    2×0.202576028043868-π/2
    0.405152056087737-1.57079632675     		φ = -1.16564427
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71010096} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.981568°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16564427 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.786497°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101210 KachelY 98555 1.71010096 -1.16564427 97.981568 -66.786497
    Oben rechts KachelX + 1 101211 KachelY 98555 1.71014889 -1.16564427 97.984314 -66.786497
    Unten links KachelX 101210 KachelY + 1 98556 1.71010096 -1.16566316 97.981568 -66.787579
    Unten rechts KachelX + 1 101211 KachelY + 1 98556 1.71014889 -1.16566316 97.984314 -66.787579
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16564427--1.16566316) × R
    1.88899999999936e-05 × 6371000     		dl = 120.348189999959m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16564427--1.16566316) × R
    1.88899999999936e-05 × 6371000     		dr = 120.348189999959m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71010096-1.71014889) × cos(-1.16564427) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.39415851157983 × 6371000     		do = 120.361043237869m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71010096-1.71014889) × cos(-1.16566316) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.394141150797186 × 6371000     		du = 120.355741914038m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16564427)-sin(-1.16566316))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.39415851157983-0.394141150797186)×R²
    abs(1.71014889-1.71010096)×1.7360782644027e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.7360782644027e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.7360782644027e-05×40589641000000     		ar = 14484.914698305m²