Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 101210 / 97105
↖ ↑ ↗
← S 65.165732°
E 97.981568°		 ← 128.25 m → S 65.165732°
E 97.984314°		 →
↑
128.25 m
↓
↑
128.25 m
↓
S 65.166886°
E 97.981568°		 ← 128.24 m →
16 448 m²		 S 65.166886°
E 97.984314°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101210 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97105 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772174835205078 y=0.740856170654297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772174835205078 × 217)
    floor (0.772174835205078 × 131072)
    floor (101210.5)     		tx = 101210
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.740856170654297 × 217)
    floor (0.740856170654297 × 131072)
    floor (97105.5)     		ty = 97105
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101210 / 97105 ti = "17/101210/97105"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101210/97105.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101210 ÷ 217
    101210 ÷ 131072     		x = 0.772171020507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97105 ÷ 217
    97105 ÷ 131072     		y = 0.740852355957031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772171020507812 × 2 - 1) × π
    0.544342041015625 × 3.1415926535     		Λ = 1.71010096
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.740852355957031 × 2 - 1) × π
    -0.481704711914062 × 3.1415926535     		Φ = -1.51331998410555
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71010096} λ = 1.71010096}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51331998410555))-π/2
    2×atan(0.220177776465002)-π/2
    2×0.216719867959254-π/2
    0.433439735918509-1.57079632675     		φ = -1.13735659
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71010096} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.981568°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13735659 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.165732°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101210 KachelY 97105 1.71010096 -1.13735659 97.981568 -65.165732
    Oben rechts KachelX + 1 101211 KachelY 97105 1.71014889 -1.13735659 97.984314 -65.165732
    Unten links KachelX 101210 KachelY + 1 97106 1.71010096 -1.13737672 97.981568 -65.166886
    Unten rechts KachelX + 1 101211 KachelY + 1 97106 1.71014889 -1.13737672 97.984314 -65.166886
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13735659--1.13737672) × R
    2.01300000000071e-05 × 6371000     		dl = 128.248230000045m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13735659--1.13737672) × R
    2.01300000000071e-05 × 6371000     		dr = 128.248230000045m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71010096-1.71014889) × cos(-1.13735659) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.41999493303682 × 6371000     		do = 128.250505341916m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71010096-1.71014889) × cos(-1.13737672) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.419976664444301 × 6371000     		du = 128.244926807419m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13735659)-sin(-1.13737672))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.41999493303682-0.419976664444301)×R²
    abs(1.71014889-1.71010096)×1.82685925181891e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.82685925181891e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.82685925181891e-05×40589641000000     		ar = 16447.5425887883m²