Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101209 / 99013
↖ ↑ ↗
← S 67.277348°
E 97.978821°		 ← 117.98 m → S 67.277348°
E 97.981568°		 →
↑
117.99 m
↓
↑
117.99 m
↓
S 67.278409°
E 97.978821°		 ← 117.97 m →
13 920 m²		 S 67.278409°
E 97.981568°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101209 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99013 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772167205810547 y=0.755413055419922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772167205810547 × 217)
    floor (0.772167205810547 × 131072)
    floor (101209.5)     		tx = 101209
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.755413055419922 × 217)
    floor (0.755413055419922 × 131072)
    floor (99013.5)     		ty = 99013
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101209 / 99013 ti = "17/101209/99013"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101209/99013.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101209 ÷ 217
    101209 ÷ 131072     		x = 0.772163391113281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99013 ÷ 217
    99013 ÷ 131072     		y = 0.755409240722656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772163391113281 × 2 - 1) × π
    0.544326782226562 × 3.1415926535     		Λ = 1.71005302
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.755409240722656 × 2 - 1) × π
    -0.510818481445312 × 3.1415926535     		Φ = -1.60478358858062
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71005302} λ = 1.71005302}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60478358858062))-π/2
    2×atan(0.200933034408509)-π/2
    2×0.198292547132836-π/2
    0.396585094265673-1.57079632675     		φ = -1.17421123
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71005302} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.978821°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17421123 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.277348°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101209 KachelY 99013 1.71005302 -1.17421123 97.978821 -67.277348
    Oben rechts KachelX + 1 101210 KachelY 99013 1.71010096 -1.17421123 97.981568 -67.277348
    Unten links KachelX 101209 KachelY + 1 99014 1.71005302 -1.17422975 97.978821 -67.278409
    Unten rechts KachelX + 1 101210 KachelY + 1 99014 1.71010096 -1.17422975 97.981568 -67.278409
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17421123--1.17422975) × R
    1.85200000000219e-05 × 6371000     		dl = 117.990920000139m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17421123--1.17422975) × R
    1.85200000000219e-05 × 6371000     		dr = 117.990920000139m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71005302-1.71010096) × cos(-1.17421123) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.386270743670148 × 6371000     		do = 117.977027725728m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71005302-1.71010096) × cos(-1.17422975) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.38625366102543 × 6371000     		du = 117.971810246324m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17421123)-sin(-1.17422975))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.386270743670148-0.38625366102543)×R²
    abs(1.71010096-1.71005302)×1.70826447185024e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.70826447185024e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.70826447185024e-05×40589641000000     		ar = 13919.9102330215m²