Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101208 / 98136
↖ ↑ ↗
← S 66.328685°
E 97.976074°		 ← 122.63 m → S 66.328685°
E 97.978821°		 →
↑
122.58 m
↓
↑
122.58 m
↓
S 66.329787°
E 97.976074°		 ← 122.62 m →
15 031 m²		 S 66.329787°
E 97.978821°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101208 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98136 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772159576416016 y=0.748722076416016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772159576416016 × 217)
    floor (0.772159576416016 × 131072)
    floor (101208.5)     		tx = 101208
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.748722076416016 × 217)
    floor (0.748722076416016 × 131072)
    floor (98136.5)     		ty = 98136
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101208 / 98136 ti = "17/101208/98136"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101208/98136.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101208 ÷ 217
    101208 ÷ 131072     		x = 0.77215576171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98136 ÷ 217
    98136 ÷ 131072     		y = 0.74871826171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77215576171875 × 2 - 1) × π
    0.5443115234375 × 3.1415926535     		Λ = 1.71000508
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74871826171875 × 2 - 1) × π
    -0.4974365234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.56274292761383
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71000508} λ = 1.71000508}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56274292761383))-π/2
    2×atan(0.20956047294147)-π/2
    2×0.206571194419867-π/2
    0.413142388839734-1.57079632675     		φ = -1.15765394
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71000508} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.976074°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15765394 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.328685°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101208 KachelY 98136 1.71000508 -1.15765394 97.976074 -66.328685
    Oben rechts KachelX + 1 101209 KachelY 98136 1.71005302 -1.15765394 97.978821 -66.328685
    Unten links KachelX 101208 KachelY + 1 98137 1.71000508 -1.15767318 97.976074 -66.329787
    Unten rechts KachelX + 1 101209 KachelY + 1 98137 1.71005302 -1.15767318 97.978821 -66.329787
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15765394--1.15767318) × R
    1.92399999998649e-05 × 6371000     		dl = 122.578039999139m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15765394--1.15767318) × R
    1.92399999998649e-05 × 6371000     		dr = 122.578039999139m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71000508-1.71005302) × cos(-1.15765394) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.401489303553184 × 6371000     		do = 122.625167639735m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71000508-1.71005302) × cos(-1.15767318) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.401471682261053 × 6371000     		du = 122.619785643547m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15765394)-sin(-1.15767318))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.401489303553184-0.401471682261053)×R²
    abs(1.71005302-1.71000508)×1.76212921306762e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.76212921306762e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.76212921306762e-05×40589641000000     		ar = 15030.8228469425m²