Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101205 / 99009
↖ ↑ ↗
← S 67.273104°
E 97.967834°		 ← 118 m → S 67.273104°
E 97.970581°		 →
↑
117.99 m
↓
↑
117.99 m
↓
S 67.274165°
E 97.967834°		 ← 117.99 m →
13 922 m²		 S 67.274165°
E 97.970581°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101205 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99009 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772136688232422 y=0.755382537841797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772136688232422 × 217)
    floor (0.772136688232422 × 131072)
    floor (101205.5)     		tx = 101205
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.755382537841797 × 217)
    floor (0.755382537841797 × 131072)
    floor (99009.5)     		ty = 99009
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101205 / 99009 ti = "17/101205/99009"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101205/99009.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101205 ÷ 217
    101205 ÷ 131072     		x = 0.772132873535156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99009 ÷ 217
    99009 ÷ 131072     		y = 0.755378723144531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772132873535156 × 2 - 1) × π
    0.544265747070312 × 3.1415926535     		Λ = 1.70986127
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.755378723144531 × 2 - 1) × π
    -0.510757446289062 × 3.1415926535     		Φ = -1.60459184098214
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70986127} λ = 1.70986127}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60459184098214))-π/2
    2×atan(0.200971566529415)-π/2
    2×0.198329583651449-π/2
    0.396659167302897-1.57079632675     		φ = -1.17413716
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70986127} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.967834°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17413716 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.273104°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101205 KachelY 99009 1.70986127 -1.17413716 97.967834 -67.273104
    Oben rechts KachelX + 1 101206 KachelY 99009 1.70990921 -1.17413716 97.970581 -67.273104
    Unten links KachelX 101205 KachelY + 1 99010 1.70986127 -1.17415568 97.967834 -67.274165
    Unten rechts KachelX + 1 101206 KachelY + 1 99010 1.70990921 -1.17415568 97.970581 -67.274165
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17413716--1.17415568) × R
    1.85200000000219e-05 × 6371000     		dl = 117.990920000139m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17413716--1.17415568) × R
    1.85200000000219e-05 × 6371000     		dr = 117.990920000139m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70986127-1.70990921) × cos(-1.17413716) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.386339063700524 × 6371000     		do = 117.997894421562m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70986127-1.70990921) × cos(-1.17415568) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.386321981585718 × 6371000     		du = 117.992677104007m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17413716)-sin(-1.17415568))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.386339063700524-0.386321981585718)×R²
    abs(1.70990921-1.70986127)×1.70821148062772e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.70821148062772e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.70821148062772e-05×40589641000000     		ar = 13922.372323212m²