Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101205 / 98510
↖ ↑ ↗
← S 66.737732°
E 97.967834°		 ← 120.63 m → S 66.737732°
E 97.970581°		 →
↑
120.67 m
↓
↑
120.67 m
↓
S 66.738817°
E 97.967834°		 ← 120.62 m →
14 555 m²		 S 66.738817°
E 97.970581°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101205 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98510 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772136688232422 y=0.751575469970703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772136688232422 × 217)
    floor (0.772136688232422 × 131072)
    floor (101205.5)     		tx = 101205
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.751575469970703 × 217)
    floor (0.751575469970703 × 131072)
    floor (98510.5)     		ty = 98510
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101205 / 98510 ti = "17/101205/98510"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101205/98510.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101205 ÷ 217
    101205 ÷ 131072     		x = 0.772132873535156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98510 ÷ 217
    98510 ÷ 131072     		y = 0.751571655273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772132873535156 × 2 - 1) × π
    0.544265747070312 × 3.1415926535     		Λ = 1.70986127
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.751571655273438 × 2 - 1) × π
    -0.503143310546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.58067132807173
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70986127} λ = 1.70986127}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58067132807173))-π/2
    2×atan(0.205836867743567)-π/2
    2×0.203001581269412-π/2
    0.406003162538825-1.57079632675     		φ = -1.16479316
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70986127} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.967834°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16479316 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.737732°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101205 KachelY 98510 1.70986127 -1.16479316 97.967834 -66.737732
    Oben rechts KachelX + 1 101206 KachelY 98510 1.70990921 -1.16479316 97.970581 -66.737732
    Unten links KachelX 101205 KachelY + 1 98511 1.70986127 -1.16481210 97.967834 -66.738817
    Unten rechts KachelX + 1 101206 KachelY + 1 98511 1.70990921 -1.16481210 97.970581 -66.738817
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16479316--1.16481210) × R
    1.89399999999118e-05 × 6371000     		dl = 120.666739999438m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16479316--1.16481210) × R
    1.89399999999118e-05 × 6371000     		dr = 120.666739999438m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70986127-1.70990921) × cos(-1.16479316) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.394940574962967 × 6371000     		do = 120.625017364011m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70986127-1.70990921) × cos(-1.16481210) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.394923174587835 × 6371000     		du = 120.61970284156m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16479316)-sin(-1.16481210))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.394940574962967-0.394923174587835)×R²
    abs(1.70990921-1.70986127)×1.74003751324259e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.74003751324259e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.74003751324259e-05×40589641000000     		ar = 14555.1069650182m²