Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101205 / 97063
↖ ↑ ↗
← S 65.117239°
E 97.967834°		 ← 128.51 m → S 65.117239°
E 97.970581°		 →
↑
128.50 m
↓
↑
128.50 m
↓
S 65.118395°
E 97.967834°		 ← 128.51 m →
16 514 m²		 S 65.118395°
E 97.970581°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101205 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97063 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772136688232422 y=0.740535736083984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772136688232422 × 217)
    floor (0.772136688232422 × 131072)
    floor (101205.5)     		tx = 101205
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.740535736083984 × 217)
    floor (0.740535736083984 × 131072)
    floor (97063.5)     		ty = 97063
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101205 / 97063 ti = "17/101205/97063"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101205/97063.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101205 ÷ 217
    101205 ÷ 131072     		x = 0.772132873535156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97063 ÷ 217
    97063 ÷ 131072     		y = 0.740531921386719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772132873535156 × 2 - 1) × π
    0.544265747070312 × 3.1415926535     		Λ = 1.70986127
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.740531921386719 × 2 - 1) × π
    -0.481063842773438 × 3.1415926535     		Φ = -1.51130663432151
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70986127} λ = 1.70986127}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51130663432151))-π/2
    2×atan(0.220621517897162)-π/2
    2×0.217143052759028-π/2
    0.434286105518057-1.57079632675     		φ = -1.13651022
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70986127} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.967834°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13651022 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.117239°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101205 KachelY 97063 1.70986127 -1.13651022 97.967834 -65.117239
    Oben rechts KachelX + 1 101206 KachelY 97063 1.70990921 -1.13651022 97.970581 -65.117239
    Unten links KachelX 101205 KachelY + 1 97064 1.70986127 -1.13653039 97.967834 -65.118395
    Unten rechts KachelX + 1 101206 KachelY + 1 97064 1.70990921 -1.13653039 97.970581 -65.118395
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13651022--1.13653039) × R
    2.0169999999986e-05 × 6371000     		dl = 128.503069999911m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13651022--1.13653039) × R
    2.0169999999986e-05 × 6371000     		dr = 128.503069999911m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70986127-1.70990921) × cos(-1.13651022) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.420762885675997 × 6371000     		do = 128.511815722043m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70986127-1.70990921) × cos(-1.13653039) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.420744587958334 × 6371000     		du = 128.506227128085m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13651022)-sin(-1.13653039))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.420762885675997-0.420744587958334)×R²
    abs(1.70990921-1.70986127)×1.82977176631516e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.82977176631516e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.82977176631516e-05×40589641000000     		ar = 16513.8037763828m²