Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101202 / 98267
↖ ↑ ↗
← S 66.472726°
E 97.959595°		 ← 121.92 m → S 66.472726°
E 97.962341°		 →
↑
121.94 m
↓
↑
121.94 m
↓
S 66.473823°
E 97.959595°		 ← 121.92 m →
14 867 m²		 S 66.473823°
E 97.962341°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101202 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98267 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772113800048828 y=0.749721527099609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772113800048828 × 217)
    floor (0.772113800048828 × 131072)
    floor (101202.5)     		tx = 101202
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.749721527099609 × 217)
    floor (0.749721527099609 × 131072)
    floor (98267.5)     		ty = 98267
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101202 / 98267 ti = "17/101202/98267"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101202/98267.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101202 ÷ 217
    101202 ÷ 131072     		x = 0.772109985351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98267 ÷ 217
    98267 ÷ 131072     		y = 0.749717712402344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772109985351562 × 2 - 1) × π
    0.544219970703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.70971746
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.749717712402344 × 2 - 1) × π
    -0.499435424804688 × 3.1415926535     		Φ = -1.56902266146406
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70971746} λ = 1.70971746}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56902266146406))-π/2
    2×atan(0.208248612324736)-π/2
    2×0.205314190976209-π/2
    0.410628381952419-1.57079632675     		φ = -1.16016794
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70971746} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.959595°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16016794 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.472726°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101202 KachelY 98267 1.70971746 -1.16016794 97.959595 -66.472726
    Oben rechts KachelX + 1 101203 KachelY 98267 1.70976540 -1.16016794 97.962341 -66.472726
    Unten links KachelX 101202 KachelY + 1 98268 1.70971746 -1.16018708 97.959595 -66.473823
    Unten rechts KachelX + 1 101203 KachelY + 1 98268 1.70976540 -1.16018708 97.962341 -66.473823
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16016794--1.16018708) × R
    1.91400000000286e-05 × 6371000     		dl = 121.940940000182m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16016794--1.16018708) × R
    1.91400000000286e-05 × 6371000     		dr = 121.940940000182m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70971746-1.70976540) × cos(-1.16016794) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.399185555861455 × 6371000     		do = 121.921543796216m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70971746-1.70976540) × cos(-1.16018708) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.399168006893457 × 6371000     		du = 121.916183889679m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16016794)-sin(-1.16018708))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.399185555861455-0.399168006893457)×R²
    abs(1.70976540-1.70971746)×1.75489679977714e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.75489679977714e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.75489679977714e-05×40589641000000     		ar = 14866.9008611713m²