Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 101201 / 98095
↖ ↑ ↗
← S 66.283433°
E 97.956848°		 ← 122.85 m → S 66.283433°
E 97.959595°		 →
↑
122.83 m
↓
↑
122.83 m
↓
S 66.284537°
E 97.956848°		 ← 122.84 m →
15 089 m²		 S 66.284537°
E 97.959595°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101201 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98095 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772106170654297 y=0.748409271240234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772106170654297 × 217)
    floor (0.772106170654297 × 131072)
    floor (101201.5)     		tx = 101201
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.748409271240234 × 217)
    floor (0.748409271240234 × 131072)
    floor (98095.5)     		ty = 98095
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101201 / 98095 ti = "17/101201/98095"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101201/98095.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101201 ÷ 217
    101201 ÷ 131072     		x = 0.772102355957031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98095 ÷ 217
    98095 ÷ 131072     		y = 0.748405456542969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772102355957031 × 2 - 1) × π
    0.544204711914062 × 3.1415926535     		Λ = 1.70966952
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.748405456542969 × 2 - 1) × π
    -0.496810913085938 × 3.1415926535     		Φ = -1.56077751472941
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70966952} λ = 1.70966952}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56077751472941))-π/2
    2×atan(0.209972750810458)-π/2
    2×0.206966095820358-π/2
    0.413932191640716-1.57079632675     		φ = -1.15686414
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70966952} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.956848°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15686414 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.283433°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101201 KachelY 98095 1.70966952 -1.15686414 97.956848 -66.283433
    Oben rechts KachelX + 1 101202 KachelY 98095 1.70971746 -1.15686414 97.959595 -66.283433
    Unten links KachelX 101201 KachelY + 1 98096 1.70966952 -1.15688342 97.956848 -66.284537
    Unten rechts KachelX + 1 101202 KachelY + 1 98096 1.70971746 -1.15688342 97.959595 -66.284537
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15686414--1.15688342) × R
    1.92800000000659e-05 × 6371000     		dl = 122.83288000042m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15686414--1.15688342) × R
    1.92800000000659e-05 × 6371000     		dr = 122.83288000042m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70966952-1.70971746) × cos(-1.15686414) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.402212527416491 × 6371000     		do = 122.846058823371m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70966952-1.70971746) × cos(-1.15688342) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.40219487560849 × 6371000     		du = 122.840667506851m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15686414)-sin(-1.15688342))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.402212527416491-0.40219487560849)×R²
    abs(1.70971746-1.70966952)×1.76518080006183e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.76518080006183e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.76518080006183e-05×40589641000000     		ar = 15089.2040868076m²