Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 101198 / 96973
↖ ↑ ↗
← S 65.013026°
E 97.948608°		 ← 129.02 m → S 65.013026°
E 97.951355°		 →
↑
129.01 m
↓
↑
129.01 m
↓
S 65.014186°
E 97.948608°		 ← 129.01 m →
16 644 m²		 S 65.014186°
E 97.951355°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101198 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96973 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772083282470703 y=0.739849090576172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772083282470703 × 217)
    floor (0.772083282470703 × 131072)
    floor (101198.5)     		tx = 101198
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.739849090576172 × 217)
    floor (0.739849090576172 × 131072)
    floor (96973.5)     		ty = 96973
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101198 / 96973 ti = "17/101198/96973"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101198/96973.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101198 ÷ 217
    101198 ÷ 131072     		x = 0.772079467773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96973 ÷ 217
    96973 ÷ 131072     		y = 0.739845275878906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772079467773438 × 2 - 1) × π
    0.544158935546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.70952571
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.739845275878906 × 2 - 1) × π
    -0.479690551757812 × 3.1415926535     		Φ = -1.50699231335571
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70952571} λ = 1.70952571}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50699231335571))-π/2
    2×atan(0.221575406147784)-π/2
    2×0.218052483842546-π/2
    0.436104967685092-1.57079632675     		φ = -1.13469136
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70952571} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.948608°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13469136 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.013026°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101198 KachelY 96973 1.70952571 -1.13469136 97.948608 -65.013026
    Oben rechts KachelX + 1 101199 KachelY 96973 1.70957365 -1.13469136 97.951355 -65.013026
    Unten links KachelX 101198 KachelY + 1 96974 1.70952571 -1.13471161 97.948608 -65.014186
    Unten rechts KachelX + 1 101199 KachelY + 1 96974 1.70957365 -1.13471161 97.951355 -65.014186
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13469136--1.13471161) × R
    2.0250000000166e-05 × 6371000     		dl = 129.012750001057m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13469136--1.13471161) × R
    2.0250000000166e-05 × 6371000     		dr = 129.012750001057m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70952571-1.70957365) × cos(-1.13469136) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.422412205185935 × 6371000     		do = 129.015560353861m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70952571-1.70957365) × cos(-1.13471161) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.422393850421481 × 6371000     		du = 129.009954336346m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13469136)-sin(-1.13471161))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.422412205185935-0.422393850421481)×R²
    abs(1.70957365-1.70952571)×1.83547644531101e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.83547644531101e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.83547644531101e-05×40589641000000     		ar = 16644.2906108255m²