Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101197 / 98751
↖ ↑ ↗
← S 66.997771°
E 97.945862°		 ← 119.33 m → S 66.997771°
E 97.948608°		 →
↑
119.33 m
↓
↑
119.33 m
↓
S 66.998844°
E 97.945862°		 ← 119.32 m →
14 239 m²		 S 66.998844°
E 97.948608°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101197 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98751 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772075653076172 y=0.753414154052734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772075653076172 × 217)
    floor (0.772075653076172 × 131072)
    floor (101197.5)     		tx = 101197
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.753414154052734 × 217)
    floor (0.753414154052734 × 131072)
    floor (98751.5)     		ty = 98751
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101197 / 98751 ti = "17/101197/98751"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101197/98751.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101197 ÷ 217
    101197 ÷ 131072     		x = 0.772071838378906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98751 ÷ 217
    98751 ÷ 131072     		y = 0.753410339355469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772071838378906 × 2 - 1) × π
    0.544143676757812 × 3.1415926535     		Λ = 1.70947778
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.753410339355469 × 2 - 1) × π
    -0.506820678710938 × 3.1415926535     		Φ = -1.59222412088017
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70947778} λ = 1.70947778}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59222412088017))-π/2
    2×atan(0.203472560530236)-π/2
    2×0.200732319679053-π/2
    0.401464639358106-1.57079632675     		φ = -1.16933169
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70947778} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.945862°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16933169 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.997771°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101197 KachelY 98751 1.70947778 -1.16933169 97.945862 -66.997771
    Oben rechts KachelX + 1 101198 KachelY 98751 1.70952571 -1.16933169 97.948608 -66.997771
    Unten links KachelX 101197 KachelY + 1 98752 1.70947778 -1.16935042 97.945862 -66.998844
    Unten rechts KachelX + 1 101198 KachelY + 1 98752 1.70952571 -1.16935042 97.948608 -66.998844
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16933169--1.16935042) × R
    1.87300000000779e-05 × 6371000     		dl = 119.328830000496m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16933169--1.16935042) × R
    1.87300000000779e-05 × 6371000     		dr = 119.328830000496m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70947778-1.70952571) × cos(-1.16933169) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.390766943966066 × 6371000     		do = 119.325387266447m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70947778-1.70952571) × cos(-1.16935042) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.390749703126382 × 6371000     		du = 119.320122568643m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16933169)-sin(-1.16935042))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.390766943966066-0.390749703126382)×R²
    abs(1.70952571-1.70947778)×1.72408396840185e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.72408396840185e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.72408396840185e-05×40589641000000     		ar = 14238.6447370786m²