Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101197 / 98235
↖ ↑ ↗
← S 66.437617°
E 97.945862°		 ← 122.07 m → S 66.437617°
E 97.948608°		 →
↑
122.07 m
↓
↑
122.07 m
↓
S 66.438715°
E 97.945862°		 ← 122.06 m →
14 900 m²		 S 66.438715°
E 97.948608°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101197 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98235 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772075653076172 y=0.749477386474609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772075653076172 × 217)
    floor (0.772075653076172 × 131072)
    floor (101197.5)     		tx = 101197
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.749477386474609 × 217)
    floor (0.749477386474609 × 131072)
    floor (98235.5)     		ty = 98235
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101197 / 98235 ti = "17/101197/98235"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101197/98235.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101197 ÷ 217
    101197 ÷ 131072     		x = 0.772071838378906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98235 ÷ 217
    98235 ÷ 131072     		y = 0.749473571777344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772071838378906 × 2 - 1) × π
    0.544143676757812 × 3.1415926535     		Λ = 1.70947778
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.749473571777344 × 2 - 1) × π
    -0.498947143554688 × 3.1415926535     		Φ = -1.56748868067622
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70947778} λ = 1.70947778}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56748868067622))-π/2
    2×atan(0.208568306835066)-π/2
    2×0.205620577850509-π/2
    0.411241155701018-1.57079632675     		φ = -1.15955517
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70947778} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.945862°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15955517 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.437617°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101197 KachelY 98235 1.70947778 -1.15955517 97.945862 -66.437617
    Oben rechts KachelX + 1 101198 KachelY 98235 1.70952571 -1.15955517 97.948608 -66.437617
    Unten links KachelX 101197 KachelY + 1 98236 1.70947778 -1.15957433 97.945862 -66.438715
    Unten rechts KachelX + 1 101198 KachelY + 1 98236 1.70952571 -1.15957433 97.948608 -66.438715
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15955517--1.15957433) × R
    1.91600000001291e-05 × 6371000     		dl = 122.068360000822m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15955517--1.15957433) × R
    1.91600000001291e-05 × 6371000     		dr = 122.068360000822m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70947778-1.70952571) × cos(-1.15955517) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.399747311410298 × 6371000     		do = 122.067650499366m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70947778-1.70952571) × cos(-1.15957433) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.399729748794646 × 6371000     		du = 122.062287543398m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15955517)-sin(-1.15957433))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.399747311410298-0.399729748794646)×R²
    abs(1.70952571-1.70947778)×1.75626156520559e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.75626156520559e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.75626156520559e-05×40589641000000     		ar = 14900.2705823998m²