Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101196 / 98116
↖ ↑ ↗
← S 66.306621°
E 97.943115°		 ← 122.73 m → S 66.306621°
E 97.945862°		 →
↑
122.71 m
↓
↑
122.71 m
↓
S 66.307724°
E 97.943115°		 ← 122.73 m →
15 060 m²		 S 66.307724°
E 97.945862°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101196 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98116 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772068023681641 y=0.748569488525391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772068023681641 × 217)
    floor (0.772068023681641 × 131072)
    floor (101196.5)     		tx = 101196
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.748569488525391 × 217)
    floor (0.748569488525391 × 131072)
    floor (98116.5)     		ty = 98116
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101196 / 98116 ti = "17/101196/98116"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101196/98116.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101196 ÷ 217
    101196 ÷ 131072     		x = 0.772064208984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98116 ÷ 217
    98116 ÷ 131072     		y = 0.748565673828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772064208984375 × 2 - 1) × π
    0.54412841796875 × 3.1415926535     		Λ = 1.70942984
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.748565673828125 × 2 - 1) × π
    -0.49713134765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.56178418962143
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70942984} λ = 1.70942984}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56178418962143))-π/2
    2×atan(0.209761482871115)-π/2
    2×0.20676374046284-π/2
    0.413527480925681-1.57079632675     		φ = -1.15726885
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70942984} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.943115°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15726885 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.306621°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101196 KachelY 98116 1.70942984 -1.15726885 97.943115 -66.306621
    Oben rechts KachelX + 1 101197 KachelY 98116 1.70947778 -1.15726885 97.945862 -66.306621
    Unten links KachelX 101196 KachelY + 1 98117 1.70942984 -1.15728811 97.943115 -66.307724
    Unten rechts KachelX + 1 101197 KachelY + 1 98117 1.70947778 -1.15728811 97.945862 -66.307724
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15726885--1.15728811) × R
    1.92600000001875e-05 × 6371000     		dl = 122.705460001194m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15726885--1.15728811) × R
    1.92600000001875e-05 × 6371000     		dr = 122.705460001194m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70942984-1.70947778) × cos(-1.15726885) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.401841963732069 × 6371000     		do = 122.73287913584m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70942984-1.70947778) × cos(-1.15728811) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.401824327101531 × 6371000     		du = 122.727492454907m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15726885)-sin(-1.15728811))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.401841963732069-0.401824327101531)×R²
    abs(1.70947778-1.70942984)×1.76366305380538e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.76366305380538e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.76366305380538e-05×40589641000000     		ar = 15059.6639046193m²