Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101196 / 97001
↖ ↑ ↗
← S 65.045491°
E 97.943115°		 ← 128.86 m → S 65.045491°
E 97.945862°		 →
↑
128.82 m
↓
↑
128.82 m
↓
S 65.046650°
E 97.943115°		 ← 128.85 m →
16 599 m²		 S 65.046650°
E 97.945862°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101196 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97001 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772068023681641 y=0.740062713623047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772068023681641 × 217)
    floor (0.772068023681641 × 131072)
    floor (101196.5)     		tx = 101196
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.740062713623047 × 217)
    floor (0.740062713623047 × 131072)
    floor (97001.5)     		ty = 97001
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101196 / 97001 ti = "17/101196/97001"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101196/97001.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101196 ÷ 217
    101196 ÷ 131072     		x = 0.772064208984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97001 ÷ 217
    97001 ÷ 131072     		y = 0.740058898925781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772064208984375 × 2 - 1) × π
    0.54412841796875 × 3.1415926535     		Λ = 1.70942984
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.740058898925781 × 2 - 1) × π
    -0.480117797851562 × 3.1415926535     		Φ = -1.50833454654507
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70942984} λ = 1.70942984}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50833454654507))-π/2
    2×atan(0.221278199788446)-π/2
    2×0.21776916839297-π/2
    0.43553833678594-1.57079632675     		φ = -1.13525799
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70942984} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.943115°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13525799 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.045491°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101196 KachelY 97001 1.70942984 -1.13525799 97.943115 -65.045491
    Oben rechts KachelX + 1 101197 KachelY 97001 1.70947778 -1.13525799 97.945862 -65.045491
    Unten links KachelX 101196 KachelY + 1 97002 1.70942984 -1.13527821 97.943115 -65.046650
    Unten rechts KachelX + 1 101197 KachelY + 1 97002 1.70947778 -1.13527821 97.945862 -65.046650
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13525799--1.13527821) × R
    2.02200000001262e-05 × 6371000     		dl = 128.821620000804m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13525799--1.13527821) × R
    2.02200000001262e-05 × 6371000     		dr = 128.821620000804m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70942984-1.70947778) × cos(-1.13525799) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.42189854179129 × 6371000     		do = 128.858674331441m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70942984-1.70947778) × cos(-1.13527821) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.421880209382571 × 6371000     		du = 128.853075141942m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13525799)-sin(-1.13527821))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.42189854179129-0.421880209382571)×R²
    abs(1.70947778-1.70942984)×1.83324087197345e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.83324087197345e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.83324087197345e-05×40589641000000     		ar = 16599.4225308201m²