Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 101195 / 98123
↖ ↑ ↗
← S 66.314345°
E 97.940368°		 ← 122.70 m → S 66.314345°
E 97.943115°		 →
↑
122.64 m
↓
↑
122.64 m
↓
S 66.315448°
E 97.940368°		 ← 122.69 m →
15 047 m²		 S 66.315448°
E 97.943115°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101195 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98123 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772060394287109 y=0.748622894287109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772060394287109 × 217)
    floor (0.772060394287109 × 131072)
    floor (101195.5)     		tx = 101195
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.748622894287109 × 217)
    floor (0.748622894287109 × 131072)
    floor (98123.5)     		ty = 98123
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101195 / 98123 ti = "17/101195/98123"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101195/98123.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101195 ÷ 217
    101195 ÷ 131072     		x = 0.772056579589844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98123 ÷ 217
    98123 ÷ 131072     		y = 0.748619079589844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772056579589844 × 2 - 1) × π
    0.544113159179688 × 3.1415926535     		Λ = 1.70938190
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.748619079589844 × 2 - 1) × π
    -0.497238159179688 × 3.1415926535     		Φ = -1.56211974791877
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70938190} λ = 1.70938190}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56211974791877))-π/2
    2×atan(0.20969110747326)-π/2
    2×0.206696330117081-π/2
    0.413392660234162-1.57079632675     		φ = -1.15740367
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70938190} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.940368°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15740367 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.314345°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101195 KachelY 98123 1.70938190 -1.15740367 97.940368 -66.314345
    Oben rechts KachelX + 1 101196 KachelY 98123 1.70942984 -1.15740367 97.943115 -66.314345
    Unten links KachelX 101195 KachelY + 1 98124 1.70938190 -1.15742292 97.940368 -66.315448
    Unten rechts KachelX + 1 101196 KachelY + 1 98124 1.70942984 -1.15742292 97.943115 -66.315448
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15740367--1.15742292) × R
    1.92499999998041e-05 × 6371000     		dl = 122.641749998752m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15740367--1.15742292) × R
    1.92499999998041e-05 × 6371000     		dr = 122.641749998752m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70938190-1.70942984) × cos(-1.15740367) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.401718504188361 × 6371000     		do = 122.695171413911m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70938190-1.70942984) × cos(-1.15742292) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.40170087567228 × 6371000     		du = 122.689787211342m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15740367)-sin(-1.15742292))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.401718504188361-0.40170087567228)×R²
    abs(1.70942984-1.70938190)×1.76285160813361e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.76285160813361e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.76285160813361e-05×40589641000000     		ar = 15047.2203748624m²