Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 101192 / 99300
↖ ↑ ↗
← S 67.579908°
E 97.932129°		 ← 116.49 m → S 67.579908°
E 97.934876°		 →
↑
116.46 m
↓
↑
116.46 m
↓
S 67.580955°
E 97.932129°		 ← 116.48 m →
13 566 m²		 S 67.580955°
E 97.934876°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101192 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99300 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772037506103516 y=0.757602691650391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772037506103516 × 217)
    floor (0.772037506103516 × 131072)
    floor (101192.5)     		tx = 101192
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.757602691650391 × 217)
    floor (0.757602691650391 × 131072)
    floor (99300.5)     		ty = 99300
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101192 / 99300 ti = "17/101192/99300"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101192/99300.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101192 ÷ 217
    101192 ÷ 131072     		x = 0.77203369140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99300 ÷ 217
    99300 ÷ 131072     		y = 0.757598876953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77203369140625 × 2 - 1) × π
    0.5440673828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.70923809
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.757598876953125 × 2 - 1) × π
    -0.51519775390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.61854147877158
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70923809} λ = 1.70923809}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61854147877158))-π/2
    2×atan(0.198187549133065)-π/2
    2×0.195652212756654-π/2
    0.391304425513308-1.57079632675     		φ = -1.17949190
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70923809} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.932129°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17949190 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.579908°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101192 KachelY 99300 1.70923809 -1.17949190 97.932129 -67.579908
    Oben rechts KachelX + 1 101193 KachelY 99300 1.70928603 -1.17949190 97.934876 -67.579908
    Unten links KachelX 101192 KachelY + 1 99301 1.70923809 -1.17951018 97.932129 -67.580955
    Unten rechts KachelX + 1 101193 KachelY + 1 99301 1.70928603 -1.17951018 97.934876 -67.580955
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17949190--1.17951018) × R
    1.82800000001482e-05 × 6371000     		dl = 116.461880000944m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17949190--1.17951018) × R
    1.82800000001482e-05 × 6371000     		dr = 116.461880000944m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70923809-1.70928603) × cos(-1.17949190) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.381394567490729 × 6371000     		do = 116.487718007759m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70923809-1.70928603) × cos(-1.17951018) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.381377669169337 × 6371000     		du = 116.482556825443m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17949190)-sin(-1.17951018))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.381394567490729-0.381377669169337)×R²
    abs(1.70928603-1.70923809)×1.6898321391845e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.6898321391845e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.6898321391845e-05×40589641000000     		ar = 13566.0780959724m²