Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101191 / 99272
↖ ↑ ↗
← S 67.550559°
E 97.929383°		 ← 116.61 m → S 67.550559°
E 97.932129°		 →
↑
116.65 m
↓
↑
116.65 m
↓
S 67.551608°
E 97.929383°		 ← 116.60 m →
13 602 m²		 S 67.551608°
E 97.932129°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101191 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99272 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772029876708984 y=0.757389068603516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772029876708984 × 217)
    floor (0.772029876708984 × 131072)
    floor (101191.5)     		tx = 101191
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.757389068603516 × 217)
    floor (0.757389068603516 × 131072)
    floor (99272.5)     		ty = 99272
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101191 / 99272 ti = "17/101191/99272"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101191/99272.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101191 ÷ 217
    101191 ÷ 131072     		x = 0.772026062011719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99272 ÷ 217
    99272 ÷ 131072     		y = 0.75738525390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772026062011719 × 2 - 1) × π
    0.544052124023438 × 3.1415926535     		Λ = 1.70919016
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75738525390625 × 2 - 1) × π
    -0.5147705078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.61719924558221
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70919016} λ = 1.70919016}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61719924558221))-π/2
    2×atan(0.198453741645478)-π/2
    2×0.195908331828492-π/2
    0.391816663656985-1.57079632675     		φ = -1.17897966
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70919016} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.929383°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17897966 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.550559°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101191 KachelY 99272 1.70919016 -1.17897966 97.929383 -67.550559
    Oben rechts KachelX + 1 101192 KachelY 99272 1.70923809 -1.17897966 97.932129 -67.550559
    Unten links KachelX 101191 KachelY + 1 99273 1.70919016 -1.17899797 97.929383 -67.551608
    Unten rechts KachelX + 1 101192 KachelY + 1 99273 1.70923809 -1.17899797 97.932129 -67.551608
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17897966--1.17899797) × R
    1.83099999999659e-05 × 6371000     		dl = 116.653009999782m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17897966--1.17899797) × R
    1.83099999999659e-05 × 6371000     		dr = 116.653009999782m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70919016-1.70923809) × cos(-1.17897966) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.381868038412682 × 6371000     		do = 116.607999401886m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70919016-1.70923809) × cos(-1.17899797) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.381851115937995 × 6371000     		du = 116.602831920663m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17897966)-sin(-1.17899797))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.381868038412682-0.381851115937995)×R²
    abs(1.70923809-1.70919016)×1.69224746869867e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.69224746869867e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.69224746869867e-05×40589641000000     		ar = 13602.3727196718m²