Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101191 / 98120
↖ ↑ ↗
← S 66.311035°
E 97.929383°		 ← 122.69 m → S 66.311035°
E 97.932129°		 →
↑
122.71 m
↓
↑
122.71 m
↓
S 66.312138°
E 97.929383°		 ← 122.68 m →
15 054 m²		 S 66.312138°
E 97.932129°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101191 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98120 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772029876708984 y=0.748600006103516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772029876708984 × 217)
    floor (0.772029876708984 × 131072)
    floor (101191.5)     		tx = 101191
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.748600006103516 × 217)
    floor (0.748600006103516 × 131072)
    floor (98120.5)     		ty = 98120
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101191 / 98120 ti = "17/101191/98120"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101191/98120.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101191 ÷ 217
    101191 ÷ 131072     		x = 0.772026062011719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98120 ÷ 217
    98120 ÷ 131072     		y = 0.74859619140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772026062011719 × 2 - 1) × π
    0.544052124023438 × 3.1415926535     		Λ = 1.70919016
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74859619140625 × 2 - 1) × π
    -0.4971923828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.56197593721991
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70919016} λ = 1.70919016}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56197593721991))-π/2
    2×atan(0.20972126546644)-π/2
    2×0.206725217728865-π/2
    0.41345043545773-1.57079632675     		φ = -1.15734589
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70919016} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.929383°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15734589 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.311035°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101191 KachelY 98120 1.70919016 -1.15734589 97.929383 -66.311035
    Oben rechts KachelX + 1 101192 KachelY 98120 1.70923809 -1.15734589 97.932129 -66.311035
    Unten links KachelX 101191 KachelY + 1 98121 1.70919016 -1.15736515 97.929383 -66.312138
    Unten rechts KachelX + 1 101192 KachelY + 1 98121 1.70923809 -1.15736515 97.932129 -66.312138
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15734589--1.15736515) × R
    1.92599999999654e-05 × 6371000     		dl = 122.70545999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15734589--1.15736515) × R
    1.92599999999654e-05 × 6371000     		dr = 122.70545999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70919016-1.70923809) × cos(-1.15734589) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.401771416315609 × 6371000     		do = 122.685735282184m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70919016-1.70923809) × cos(-1.15736515) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.401753779088887 × 6371000     		du = 122.680349542829m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15734589)-sin(-1.15736515))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.401771416315609-0.401753779088887)×R²
    abs(1.70923809-1.70919016)×1.76372267216562e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.76372267216562e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.76372267216562e-05×40589641000000     		ar = 15053.8791538838m²