Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101190 / 98102
↖ ↑ ↗
← S 66.291164°
E 97.926636°		 ← 122.81 m → S 66.291164°
E 97.929383°		 →
↑
122.77 m
↓
↑
122.77 m
↓
S 66.292268°
E 97.926636°		 ← 122.80 m →
15 077 m²		 S 66.292268°
E 97.929383°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101190 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98102 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772022247314453 y=0.748462677001953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772022247314453 × 217)
    floor (0.772022247314453 × 131072)
    floor (101190.5)     		tx = 101190
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.748462677001953 × 217)
    floor (0.748462677001953 × 131072)
    floor (98102.5)     		ty = 98102
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101190 / 98102 ti = "17/101190/98102"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101190/98102.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101190 ÷ 217
    101190 ÷ 131072     		x = 0.772018432617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98102 ÷ 217
    98102 ÷ 131072     		y = 0.748458862304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772018432617188 × 2 - 1) × π
    0.544036865234375 × 3.1415926535     		Λ = 1.70914222
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.748458862304688 × 2 - 1) × π
    -0.496917724609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.56111307302675
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70914222} λ = 1.70914222}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56111307302675))-π/2
    2×atan(0.209902304531786)-π/2
    2×0.206898623309339-π/2
    0.413797246618679-1.57079632675     		φ = -1.15699908
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70914222} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.926636°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15699908 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.291164°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101190 KachelY 98102 1.70914222 -1.15699908 97.926636 -66.291164
    Oben rechts KachelX + 1 101191 KachelY 98102 1.70919016 -1.15699908 97.929383 -66.291164
    Unten links KachelX 101190 KachelY + 1 98103 1.70914222 -1.15701835 97.926636 -66.292268
    Unten rechts KachelX + 1 101191 KachelY + 1 98103 1.70919016 -1.15701835 97.929383 -66.292268
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15699908--1.15701835) × R
    1.92699999999046e-05 × 6371000     		dl = 122.769169999392m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15699908--1.15701835) × R
    1.92699999999046e-05 × 6371000     		dr = 122.769169999392m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70914222-1.70919016) × cos(-1.15699908) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.402088979933161 × 6371000     		do = 122.80832424185m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70914222-1.70919016) × cos(-1.15701835) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.402071336235014 × 6371000     		du = 122.802935402287m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15699908)-sin(-1.15701835))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.402088979933161-0.402071336235014)×R²
    abs(1.70919016-1.70914222)×1.76436981468298e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.76436981468298e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.76436981468298e-05×40589641000000     		ar = 15076.745244875m²