Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101189 / 96999
↖ ↑ ↗
← S 65.043174°
E 97.923889°		 ← 128.87 m → S 65.043174°
E 97.926636°		 →
↑
128.89 m
↓
↑
128.89 m
↓
S 65.044333°
E 97.923889°		 ← 128.86 m →
16 609 m²		 S 65.044333°
E 97.926636°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101189 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96999 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772014617919922 y=0.740047454833984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772014617919922 × 217)
    floor (0.772014617919922 × 131072)
    floor (101189.5)     		tx = 101189
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.740047454833984 × 217)
    floor (0.740047454833984 × 131072)
    floor (96999.5)     		ty = 96999
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101189 / 96999 ti = "17/101189/96999"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101189/96999.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101189 ÷ 217
    101189 ÷ 131072     		x = 0.772010803222656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96999 ÷ 217
    96999 ÷ 131072     		y = 0.740043640136719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772010803222656 × 2 - 1) × π
    0.544021606445312 × 3.1415926535     		Λ = 1.70909428
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.740043640136719 × 2 - 1) × π
    -0.480087280273438 × 3.1415926535     		Φ = -1.50823867274583
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70909428} λ = 1.70909428}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50823867274583))-π/2
    2×atan(0.221299415587152)-π/2
    2×0.217789393780028-π/2
    0.435578787560056-1.57079632675     		φ = -1.13521754
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70909428} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.923889°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13521754 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.043174°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101189 KachelY 96999 1.70909428 -1.13521754 97.923889 -65.043174
    Oben rechts KachelX + 1 101190 KachelY 96999 1.70914222 -1.13521754 97.926636 -65.043174
    Unten links KachelX 101189 KachelY + 1 97000 1.70909428 -1.13523777 97.923889 -65.044333
    Unten rechts KachelX + 1 101190 KachelY + 1 97000 1.70914222 -1.13523777 97.926636 -65.044333
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13521754--1.13523777) × R
    2.02300000000655e-05 × 6371000     		dl = 128.885330000417m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13521754--1.13523777) × R
    2.02300000000655e-05 × 6371000     		dr = 128.885330000417m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70909428-1.70914222) × cos(-1.13521754) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.421935215157504 × 6371000     		do = 128.869875321455m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70909428-1.70914222) × cos(-1.13523777) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.421916874027517 × 6371000     		du = 128.864273468257m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13521754)-sin(-1.13523777))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.421935215157504-0.421916874027517)×R²
    abs(1.70914222-1.70909428)×1.83411299869429e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.83411299869429e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.83411299869429e-05×40589641000000     		ar = 16609.0754102277m²