Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101188 / 98100
↖ ↑ ↗
← S 66.288955°
E 97.921143°		 ← 122.79 m → S 66.288955°
E 97.923889°		 →
↑
122.77 m
↓
↑
122.77 m
↓
S 66.290060°
E 97.921143°		 ← 122.79 m →
15 075 m²		 S 66.290060°
E 97.923889°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101188 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98100 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772006988525391 y=0.748447418212891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772006988525391 × 217)
    floor (0.772006988525391 × 131072)
    floor (101188.5)     		tx = 101188
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.748447418212891 × 217)
    floor (0.748447418212891 × 131072)
    floor (98100.5)     		ty = 98100
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101188 / 98100 ti = "17/101188/98100"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101188/98100.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101188 ÷ 217
    101188 ÷ 131072     		x = 0.772003173828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98100 ÷ 217
    98100 ÷ 131072     		y = 0.748443603515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772003173828125 × 2 - 1) × π
    0.54400634765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.70904635
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.748443603515625 × 2 - 1) × π
    -0.49688720703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.56101719922751
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70904635} λ = 1.70904635}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56101719922751))-π/2
    2×atan(0.20992242962791)-π/2
    2×0.206917899054417-π/2
    0.413835798108833-1.57079632675     		φ = -1.15696053
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70904635} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.921143°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15696053 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.288955°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101188 KachelY 98100 1.70904635 -1.15696053 97.921143 -66.288955
    Oben rechts KachelX + 1 101189 KachelY 98100 1.70909428 -1.15696053 97.923889 -66.288955
    Unten links KachelX 101188 KachelY + 1 98101 1.70904635 -1.15697980 97.921143 -66.290060
    Unten rechts KachelX + 1 101189 KachelY + 1 98101 1.70909428 -1.15697980 97.923889 -66.290060
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15696053--1.15697980) × R
    1.92699999999046e-05 × 6371000     		dl = 122.769169999392m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15696053--1.15697980) × R
    1.92699999999046e-05 × 6371000     		dr = 122.769169999392m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70904635-1.70909428) × cos(-1.15696053) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.402124276037372 × 6371000     		do = 122.793485243127m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70904635-1.70909428) × cos(-1.15697980) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.402106632637927 × 6371000     		du = 122.788097618857m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15696053)-sin(-1.15697980))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.402124276037372-0.402106632637927)×R²
    abs(1.70909428-1.70904635)×1.76433994449887e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.76433994449887e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.76433994449887e-05×40589641000000     		ar = 15074.9235479417m²