Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101188 / 96939
↖ ↑ ↗
← S 64.973550°
E 97.921143°		 ← 129.18 m → S 64.973550°
E 97.923889°		 →
↑
129.20 m
↓
↑
129.20 m
↓
S 64.974712°
E 97.921143°		 ← 129.17 m →
16 690 m²		 S 64.974712°
E 97.923889°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101188 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96939 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772006988525391 y=0.739589691162109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772006988525391 × 217)
    floor (0.772006988525391 × 131072)
    floor (101188.5)     		tx = 101188
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.739589691162109 × 217)
    floor (0.739589691162109 × 131072)
    floor (96939.5)     		ty = 96939
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101188 / 96939 ti = "17/101188/96939"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101188/96939.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101188 ÷ 217
    101188 ÷ 131072     		x = 0.772003173828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96939 ÷ 217
    96939 ÷ 131072     		y = 0.739585876464844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772003173828125 × 2 - 1) × π
    0.54400634765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.70904635
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.739585876464844 × 2 - 1) × π
    -0.479171752929688 × 3.1415926535     		Φ = -1.50536245876862
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70904635} λ = 1.70904635}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50536245876862))-π/2
    2×atan(0.221936836299164)-π/2
    2×0.218396973446817-π/2
    0.436793946893635-1.57079632675     		φ = -1.13400238
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70904635} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.921143°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13400238 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.973550°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101188 KachelY 96939 1.70904635 -1.13400238 97.921143 -64.973550
    Oben rechts KachelX + 1 101189 KachelY 96939 1.70909428 -1.13400238 97.923889 -64.973550
    Unten links KachelX 101188 KachelY + 1 96940 1.70904635 -1.13402266 97.921143 -64.974712
    Unten rechts KachelX + 1 101189 KachelY + 1 96940 1.70909428 -1.13402266 97.923889 -64.974712
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13400238--1.13402266) × R
    2.02799999999836e-05 × 6371000     		dl = 129.203879999896m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13400238--1.13402266) × R
    2.02799999999836e-05 × 6371000     		dr = 129.203879999896m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70904635-1.70909428) × cos(-1.13400238) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.423036598999006 × 6371000     		do = 129.179314634711m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70904635-1.70909428) × cos(-1.13402266) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.423018222948575 × 6371000     		du = 129.173703286649m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13400238)-sin(-1.13402266))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.423036598999006-0.423018222948575)×R²
    abs(1.70909428-1.70904635)×1.83760504304242e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.83760504304242e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.83760504304242e-05×40589641000000     		ar = 16690.1061632651m²