Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101187 / 99142
↖ ↑ ↗
← S 67.413818°
E 97.918396°		 ← 117.31 m → S 67.413818°
E 97.921143°		 →
↑
117.29 m
↓
↑
117.29 m
↓
S 67.414873°
E 97.918396°		 ← 117.30 m →
13 758 m²		 S 67.414873°
E 97.921143°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101187 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99142 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771999359130859 y=0.756397247314453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771999359130859 × 217)
    floor (0.771999359130859 × 131072)
    floor (101187.5)     		tx = 101187
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.756397247314453 × 217)
    floor (0.756397247314453 × 131072)
    floor (99142.5)     		ty = 99142
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101187 / 99142 ti = "17/101187/99142"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101187/99142.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101187 ÷ 217
    101187 ÷ 131072     		x = 0.771995544433594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99142 ÷ 217
    99142 ÷ 131072     		y = 0.756393432617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771995544433594 × 2 - 1) × π
    0.543991088867188 × 3.1415926535     		Λ = 1.70899841
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.756393432617188 × 2 - 1) × π
    -0.512786865234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.61096744863161
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70899841} λ = 1.70899841}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61096744863161))-π/2
    2×atan(0.199694326589365)-π/2
    2×0.197101625838925-π/2
    0.394203251677849-1.57079632675     		φ = -1.17659308
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70899841} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.918396°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17659308 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.413818°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101187 KachelY 99142 1.70899841 -1.17659308 97.918396 -67.413818
    Oben rechts KachelX + 1 101188 KachelY 99142 1.70904635 -1.17659308 97.921143 -67.413818
    Unten links KachelX 101187 KachelY + 1 99143 1.70899841 -1.17661149 97.918396 -67.414873
    Unten rechts KachelX + 1 101188 KachelY + 1 99143 1.70904635 -1.17661149 97.921143 -67.414873
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17659308--1.17661149) × R
    1.84100000000242e-05 × 6371000     		dl = 117.290110000154m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17659308--1.17661149) × R
    1.84100000000242e-05 × 6371000     		dr = 117.290110000154m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70899841-1.70904635) × cos(-1.17659308) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.384072666273969 × 6371000     		do = 117.305678310423m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70899841-1.70904635) × cos(-1.17661149) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.384055668203074 × 6371000     		du = 117.300486662041m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17659308)-sin(-1.17661149))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.384072666273969-0.384055668203074)×R²
    abs(1.70904635-1.70899841)×1.69980708950579e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.69980708950579e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.69980708950579e-05×40589641000000     		ar = 13758.4914486241m²