Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101187 / 96941
↖ ↑ ↗
← S 64.975874°
E 97.918396°		 ← 129.20 m → S 64.975874°
E 97.921143°		 →
↑
129.14 m
↓
↑
129.14 m
↓
S 64.977036°
E 97.918396°		 ← 129.19 m →
16 684 m²		 S 64.977036°
E 97.921143°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101187 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96941 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771999359130859 y=0.739604949951172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771999359130859 × 217)
    floor (0.771999359130859 × 131072)
    floor (101187.5)     		tx = 101187
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.739604949951172 × 217)
    floor (0.739604949951172 × 131072)
    floor (96941.5)     		ty = 96941
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101187 / 96941 ti = "17/101187/96941"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101187/96941.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101187 ÷ 217
    101187 ÷ 131072     		x = 0.771995544433594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96941 ÷ 217
    96941 ÷ 131072     		y = 0.739601135253906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771995544433594 × 2 - 1) × π
    0.543991088867188 × 3.1415926535     		Λ = 1.70899841
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.739601135253906 × 2 - 1) × π
    -0.479202270507812 × 3.1415926535     		Φ = -1.50545833256786
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70899841} λ = 1.70899841}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50545833256786))-π/2
    2×atan(0.221915559391442)-π/2
    2×0.218376695264657-π/2
    0.436753390529315-1.57079632675     		φ = -1.13404294
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70899841} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.918396°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13404294 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.975874°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101187 KachelY 96941 1.70899841 -1.13404294 97.918396 -64.975874
    Oben rechts KachelX + 1 101188 KachelY 96941 1.70904635 -1.13404294 97.921143 -64.975874
    Unten links KachelX 101187 KachelY + 1 96942 1.70899841 -1.13406321 97.918396 -64.977036
    Unten rechts KachelX + 1 101188 KachelY + 1 96942 1.70904635 -1.13406321 97.921143 -64.977036
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13404294--1.13406321) × R
    2.02700000000444e-05 × 6371000     		dl = 129.140170000283m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13404294--1.13406321) × R
    2.02700000000444e-05 × 6371000     		dr = 129.140170000283m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70899841-1.70904635) × cos(-1.13404294) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.422999846724167 × 6371000     		do = 129.19504120553m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70899841-1.70904635) × cos(-1.13406321) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.422981479387171 × 6371000     		du = 129.189431348037m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13404294)-sin(-1.13406321))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.422999846724167-0.422981479387171)×R²
    abs(1.70904635-1.70899841)×1.83673369961168e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.83673369961168e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.83673369961168e-05×40589641000000     		ar = 16683.9073561751m²