Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101186 / 98119
↖ ↑ ↗
← S 66.309931°
E 97.915649°		 ← 122.72 m → S 66.309931°
E 97.918396°		 →
↑
122.71 m
↓
↑
122.71 m
↓
S 66.311035°
E 97.915649°		 ← 122.71 m →
15 058 m²		 S 66.311035°
E 97.918396°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101186 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98119 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771991729736328 y=0.748592376708984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771991729736328 × 217)
    floor (0.771991729736328 × 131072)
    floor (101186.5)     		tx = 101186
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.748592376708984 × 217)
    floor (0.748592376708984 × 131072)
    floor (98119.5)     		ty = 98119
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101186 / 98119 ti = "17/101186/98119"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101186/98119.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101186 ÷ 217
    101186 ÷ 131072     		x = 0.771987915039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98119 ÷ 217
    98119 ÷ 131072     		y = 0.748588562011719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771987915039062 × 2 - 1) × π
    0.543975830078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.70895047
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.748588562011719 × 2 - 1) × π
    -0.497177124023438 × 3.1415926535     		Φ = -1.56192800032029
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70895047} λ = 1.70895047}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56192800032029))-π/2
    2×atan(0.209731319094659)-π/2
    2×0.206734847778229-π/2
    0.413469695556459-1.57079632675     		φ = -1.15732663
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70895047} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.915649°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15732663 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.309931°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101186 KachelY 98119 1.70895047 -1.15732663 97.915649 -66.309931
    Oben rechts KachelX + 1 101187 KachelY 98119 1.70899841 -1.15732663 97.918396 -66.309931
    Unten links KachelX 101186 KachelY + 1 98120 1.70895047 -1.15734589 97.915649 -66.311035
    Unten rechts KachelX + 1 101187 KachelY + 1 98120 1.70899841 -1.15734589 97.918396 -66.311035
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15732663--1.15734589) × R
    1.92599999999654e-05 × 6371000     		dl = 122.70545999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15732663--1.15734589) × R
    1.92599999999654e-05 × 6371000     		dr = 122.70545999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70895047-1.70899841) × cos(-1.15732663) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.401789053393294 × 6371000     		do = 122.716718956466m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70895047-1.70899841) × cos(-1.15734589) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.401771416315609 × 6371000     		du = 122.711332138962m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15732663)-sin(-1.15734589))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.401789053393294-0.401771416315609)×R²
    abs(1.70899841-1.70895047)×1.76370776855395e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.76370776855395e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.76370776855395e-05×40589641000000     		ar = 15057.6809536362m²