Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101185 / 97035
↖ ↑ ↗
← S 65.084861°
E 97.912903°		 ← 128.67 m → S 65.084861°
E 97.915649°		 →
↑
128.63 m
↓
↑
128.63 m
↓
S 65.086018°
E 97.912903°		 ← 128.66 m →
16 550 m²		 S 65.086018°
E 97.915649°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101185 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97035 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771984100341797 y=0.740322113037109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771984100341797 × 217)
    floor (0.771984100341797 × 131072)
    floor (101185.5)     		tx = 101185
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.740322113037109 × 217)
    floor (0.740322113037109 × 131072)
    floor (97035.5)     		ty = 97035
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101185 / 97035 ti = "17/101185/97035"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101185/97035.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101185 ÷ 217
    101185 ÷ 131072     		x = 0.771980285644531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97035 ÷ 217
    97035 ÷ 131072     		y = 0.740318298339844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771980285644531 × 2 - 1) × π
    0.543960571289062 × 3.1415926535     		Λ = 1.70890253
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.740318298339844 × 2 - 1) × π
    -0.480636596679688 × 3.1415926535     		Φ = -1.50996440113215
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70890253} λ = 1.70890253}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50996440113215))-π/2
    2×atan(0.22091784224447)-π/2
    2×0.217425605686424-π/2
    0.434851211372847-1.57079632675     		φ = -1.13594512
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70890253} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.912903°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13594512 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.084861°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101185 KachelY 97035 1.70890253 -1.13594512 97.912903 -65.084861
    Oben rechts KachelX + 1 101186 KachelY 97035 1.70895047 -1.13594512 97.915649 -65.084861
    Unten links KachelX 101185 KachelY + 1 97036 1.70890253 -1.13596531 97.912903 -65.086018
    Unten rechts KachelX + 1 101186 KachelY + 1 97036 1.70895047 -1.13596531 97.915649 -65.086018
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13594512--1.13596531) × R
    2.01900000000865e-05 × 6371000     		dl = 128.630490000551m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13594512--1.13596531) × R
    2.01900000000865e-05 × 6371000     		dr = 128.630490000551m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70890253-1.70895047) × cos(-1.13594512) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.42127546060205 × 6371000     		do = 128.668369298137m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70890253-1.70895047) × cos(-1.13596531) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.421257149544262 × 6371000     		du = 128.662776629763m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13594512)-sin(-1.13596531))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.42127546060205-0.421257149544262)×R²
    abs(1.70895047-1.70890253)×1.83110577873791e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.83110577873791e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.83110577873791e-05×40589641000000     		ar = 16550.3156970501m²