Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 101183 / 98118
↖ ↑ ↗
← S 66.308828°
E 97.907410°		 ← 122.72 m → S 66.308828°
E 97.910156°		 →
↑
122.71 m
↓
↑
122.71 m
↓
S 66.309931°
E 97.907410°		 ← 122.72 m →
15 058 m²		 S 66.309931°
E 97.910156°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101183 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98118 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771968841552734 y=0.748584747314453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771968841552734 × 217)
    floor (0.771968841552734 × 131072)
    floor (101183.5)     		tx = 101183
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.748584747314453 × 217)
    floor (0.748584747314453 × 131072)
    floor (98118.5)     		ty = 98118
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101183 / 98118 ti = "17/101183/98118"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101183/98118.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101183 ÷ 217
    101183 ÷ 131072     		x = 0.771965026855469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98118 ÷ 217
    98118 ÷ 131072     		y = 0.748580932617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771965026855469 × 2 - 1) × π
    0.543930053710938 × 3.1415926535     		Λ = 1.70880666
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.748580932617188 × 2 - 1) × π
    -0.497161865234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.56188006342067
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70880666} λ = 1.70880666}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56188006342067))-π/2
    2×atan(0.209741373204829)-π/2
    2×0.206744478250337-π/2
    0.413488956500673-1.57079632675     		φ = -1.15730737
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70880666} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.907410°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15730737 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.308828°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101183 KachelY 98118 1.70880666 -1.15730737 97.907410 -66.308828
    Oben rechts KachelX + 1 101184 KachelY 98118 1.70885460 -1.15730737 97.910156 -66.308828
    Unten links KachelX 101183 KachelY + 1 98119 1.70880666 -1.15732663 97.907410 -66.309931
    Unten rechts KachelX + 1 101184 KachelY + 1 98119 1.70885460 -1.15732663 97.910156 -66.309931
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15730737--1.15732663) × R
    1.92599999999654e-05 × 6371000     		dl = 122.70545999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15730737--1.15732663) × R
    1.92599999999654e-05 × 6371000     		dr = 122.70545999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70880666-1.70885460) × cos(-1.15730737) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.401806690321937 × 6371000     		do = 122.722105728448m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70880666-1.70885460) × cos(-1.15732663) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.401789053393294 × 6371000     		du = 122.716718956466m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15730737)-sin(-1.15732663))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.401806690321937-0.401789053393294)×R²
    abs(1.70885460-1.70880666)×1.76369286428724e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.76369286428724e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.76369286428724e-05×40589641000000     		ar = 15058.3419428421m²