Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101183 / 98113
↖ ↑ ↗
← S 66.303309°
E 97.907410°		 ← 122.75 m → S 66.303309°
E 97.910156°		 →
↑
122.77 m
↓
↑
122.77 m
↓
S 66.304413°
E 97.907410°		 ← 122.74 m →
15 069 m²		 S 66.304413°
E 97.910156°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101183 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98113 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771968841552734 y=0.748546600341797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771968841552734 × 217)
    floor (0.771968841552734 × 131072)
    floor (101183.5)     		tx = 101183
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.748546600341797 × 217)
    floor (0.748546600341797 × 131072)
    floor (98113.5)     		ty = 98113
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101183 / 98113 ti = "17/101183/98113"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101183/98113.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101183 ÷ 217
    101183 ÷ 131072     		x = 0.771965026855469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98113 ÷ 217
    98113 ÷ 131072     		y = 0.748542785644531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771965026855469 × 2 - 1) × π
    0.543930053710938 × 3.1415926535     		Λ = 1.70880666
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.748542785644531 × 2 - 1) × π
    -0.497085571289062 × 3.1415926535     		Φ = -1.56164037892257
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70880666} λ = 1.70880666}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56164037892257))-π/2
    2×atan(0.209791650985758)-π/2
    2×0.206792636952544-π/2
    0.413585273905088-1.57079632675     		φ = -1.15721105
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70880666} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.907410°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15721105 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.303309°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101183 KachelY 98113 1.70880666 -1.15721105 97.907410 -66.303309
    Oben rechts KachelX + 1 101184 KachelY 98113 1.70885460 -1.15721105 97.910156 -66.303309
    Unten links KachelX 101183 KachelY + 1 98114 1.70880666 -1.15723032 97.907410 -66.304413
    Unten rechts KachelX + 1 101184 KachelY + 1 98114 1.70885460 -1.15723032 97.910156 -66.304413
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15721105--1.15723032) × R
    1.92700000001267e-05 × 6371000     		dl = 122.769170000807m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15721105--1.15723032) × R
    1.92700000001267e-05 × 6371000     		dr = 122.769170000807m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70880666-1.70885460) × cos(-1.15721105) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.401894891042999 × 6371000     		do = 122.749044498947m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70880666-1.70885460) × cos(-1.15723032) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.401877245702886 × 6371000     		du = 122.743655157885m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15721105)-sin(-1.15723032))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.401894891042999-0.401877245702886)×R²
    abs(1.70885460-1.70880666)×1.76453401121157e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.76453401121157e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.76453401121157e-05×40589641000000     		ar = 15069.4674896022m²