Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101183 / 98112
↖ ↑ ↗
← S 66.302206°
E 97.907410°		 ← 122.75 m → S 66.302206°
E 97.910156°		 →
↑
122.71 m
↓
↑
122.71 m
↓
S 66.303309°
E 97.907410°		 ← 122.75 m →
15 062 m²		 S 66.303309°
E 97.910156°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101183 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98112 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771968841552734 y=0.748538970947266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771968841552734 × 217)
    floor (0.771968841552734 × 131072)
    floor (101183.5)     		tx = 101183
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.748538970947266 × 217)
    floor (0.748538970947266 × 131072)
    floor (98112.5)     		ty = 98112
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101183 / 98112 ti = "17/101183/98112"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101183/98112.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101183 ÷ 217
    101183 ÷ 131072     		x = 0.771965026855469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98112 ÷ 217
    98112 ÷ 131072     		y = 0.74853515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771965026855469 × 2 - 1) × π
    0.543930053710938 × 3.1415926535     		Λ = 1.70880666
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74853515625 × 2 - 1) × π
    -0.4970703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.56159244202295
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70880666} λ = 1.70880666}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56159244202295))-π/2
    2×atan(0.209801707988121)-π/2
    2×0.206802269961424-π/2
    0.413604539922849-1.57079632675     		φ = -1.15719179
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70880666} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.907410°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15719179 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.302206°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101183 KachelY 98112 1.70880666 -1.15719179 97.907410 -66.302206
    Oben rechts KachelX + 1 101184 KachelY 98112 1.70885460 -1.15719179 97.910156 -66.302206
    Unten links KachelX 101183 KachelY + 1 98113 1.70880666 -1.15721105 97.907410 -66.303309
    Unten rechts KachelX + 1 101184 KachelY + 1 98113 1.70885460 -1.15721105 97.910156 -66.303309
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15719179--1.15721105) × R
    1.92599999999654e-05 × 6371000     		dl = 122.70545999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15719179--1.15721105) × R
    1.92599999999654e-05 × 6371000     		dr = 122.70545999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70880666-1.70885460) × cos(-1.15719179) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.401912527077093 × 6371000     		do = 122.754430997711m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70880666-1.70885460) × cos(-1.15721105) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.401894891042999 × 6371000     		du = 122.749044498947m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15719179)-sin(-1.15721105))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.401912527077093-0.401894891042999)×R²
    abs(1.70885460-1.70880666)×1.76360340945481e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.76360340945481e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.76360340945481e-05×40589641000000     		ar = 15062.3084466811m²