Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101183 / 97985
↖ ↑ ↗
← S 66.161621°
E 97.907410°		 ← 123.44 m → S 66.161621°
E 97.910156°		 →
↑
123.41 m
↓
↑
123.41 m
↓
S 66.162731°
E 97.907410°		 ← 123.43 m →
15 233 m²		 S 66.162731°
E 97.910156°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101183 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97985 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771968841552734 y=0.747570037841797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771968841552734 × 217)
    floor (0.771968841552734 × 131072)
    floor (101183.5)     		tx = 101183
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.747570037841797 × 217)
    floor (0.747570037841797 × 131072)
    floor (97985.5)     		ty = 97985
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101183 / 97985 ti = "17/101183/97985"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101183/97985.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101183 ÷ 217
    101183 ÷ 131072     		x = 0.771965026855469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97985 ÷ 217
    97985 ÷ 131072     		y = 0.747566223144531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771965026855469 × 2 - 1) × π
    0.543930053710938 × 3.1415926535     		Λ = 1.70880666
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.747566223144531 × 2 - 1) × π
    -0.495132446289062 × 3.1415926535     		Φ = -1.5555044557712
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70880666} λ = 1.70880666}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5555044557712))-π/2
    2×atan(0.211082873804839)-π/2
    2×0.208029104113323-π/2
    0.416058208226645-1.57079632675     		φ = -1.15473812
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70880666} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.907410°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15473812 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.161621°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101183 KachelY 97985 1.70880666 -1.15473812 97.907410 -66.161621
    Oben rechts KachelX + 1 101184 KachelY 97985 1.70885460 -1.15473812 97.910156 -66.161621
    Unten links KachelX 101183 KachelY + 1 97986 1.70880666 -1.15475749 97.907410 -66.162731
    Unten rechts KachelX + 1 101184 KachelY + 1 97986 1.70885460 -1.15475749 97.910156 -66.162731
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15473812--1.15475749) × R
    1.9369999999963e-05 × 6371000     		dl = 123.406269999764m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15473812--1.15475749) × R
    1.9369999999963e-05 × 6371000     		dr = 123.406269999764m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70880666-1.70885460) × cos(-1.15473812) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.404158086767014 × 6371000     		do = 123.440282727719m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70880666-1.70885460) × cos(-1.15475749) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.404140369162363 × 6371000     		du = 123.434871315207m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15473812)-sin(-1.15475749))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.404158086767014-0.404140369162363)×R²
    abs(1.70885460-1.70880666)×1.77176046513572e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.77176046513572e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.77176046513572e-05×40589641000000     		ar = 15232.970958521m²