Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 101182 / 98114
↖ ↑ ↗
← S 66.304413°
E 97.904663°		 ← 122.74 m → S 66.304413°
E 97.907410°		 →
↑
122.71 m
↓
↑
122.71 m
↓
S 66.305517°
E 97.904663°		 ← 122.74 m →
15 061 m²		 S 66.305517°
E 97.907410°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101182 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98114 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771961212158203 y=0.748554229736328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771961212158203 × 217)
    floor (0.771961212158203 × 131072)
    floor (101182.5)     		tx = 101182
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.748554229736328 × 217)
    floor (0.748554229736328 × 131072)
    floor (98114.5)     		ty = 98114
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101182 / 98114 ti = "17/101182/98114"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101182/98114.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101182 ÷ 217
    101182 ÷ 131072     		x = 0.771957397460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98114 ÷ 217
    98114 ÷ 131072     		y = 0.748550415039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771957397460938 × 2 - 1) × π
    0.543914794921875 × 3.1415926535     		Λ = 1.70875872
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.748550415039062 × 2 - 1) × π
    -0.497100830078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.56168831582219
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70875872} λ = 1.70875872}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56168831582219))-π/2
    2×atan(0.209781594465485)-π/2
    2×0.206783004366496-π/2
    0.413566008732993-1.57079632675     		φ = -1.15723032
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70875872} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.904663°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15723032 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.304413°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101182 KachelY 98114 1.70875872 -1.15723032 97.904663 -66.304413
    Oben rechts KachelX + 1 101183 KachelY 98114 1.70880666 -1.15723032 97.907410 -66.304413
    Unten links KachelX 101182 KachelY + 1 98115 1.70875872 -1.15724958 97.904663 -66.305517
    Unten rechts KachelX + 1 101183 KachelY + 1 98115 1.70880666 -1.15724958 97.907410 -66.305517
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15723032--1.15724958) × R
    1.92599999999654e-05 × 6371000     		dl = 122.70545999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15723032--1.15724958) × R
    1.92599999999654e-05 × 6371000     		dr = 122.70545999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70875872-1.70880666) × cos(-1.15723032) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.401877245702886 × 6371000     		do = 122.743655157885m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70875872-1.70880666) × cos(-1.15724958) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.401859609370557 × 6371000     		du = 122.738268568033m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15723032)-sin(-1.15724958))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.401877245702886-0.401859609370557)×R²
    abs(1.70880666-1.70875872)×1.76363323293183e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.76363323293183e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.76363323293183e-05×40589641000000     		ar = 15060.9861865599m²