Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101181 / 98124
↖ ↑ ↗
← S 66.315448°
E 97.901917°		 ← 122.66 m → S 66.315448°
E 97.904663°		 →
↑
122.71 m
↓
↑
122.71 m
↓
S 66.316552°
E 97.901917°		 ← 122.66 m →
15 051 m²		 S 66.316552°
E 97.904663°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101181 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98124 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771953582763672 y=0.748630523681641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771953582763672 × 217)
    floor (0.771953582763672 × 131072)
    floor (101181.5)     		tx = 101181
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.748630523681641 × 217)
    floor (0.748630523681641 × 131072)
    floor (98124.5)     		ty = 98124
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101181 / 98124 ti = "17/101181/98124"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101181/98124.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101181 ÷ 217
    101181 ÷ 131072     		x = 0.771949768066406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98124 ÷ 217
    98124 ÷ 131072     		y = 0.748626708984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771949768066406 × 2 - 1) × π
    0.543899536132812 × 3.1415926535     		Λ = 1.70871079
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.748626708984375 × 2 - 1) × π
    -0.49725341796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.56216768481839
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70871079} λ = 1.70871079}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56216768481839))-π/2
    2×atan(0.209681055772616)-π/2
    2×0.206686701758539-π/2
    0.413373403517078-1.57079632675     		φ = -1.15742292
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70871079} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.901917°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15742292 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.315448°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101181 KachelY 98124 1.70871079 -1.15742292 97.901917 -66.315448
    Oben rechts KachelX + 1 101182 KachelY 98124 1.70875872 -1.15742292 97.904663 -66.315448
    Unten links KachelX 101181 KachelY + 1 98125 1.70871079 -1.15744218 97.901917 -66.316552
    Unten rechts KachelX + 1 101182 KachelY + 1 98125 1.70875872 -1.15744218 97.904663 -66.316552
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15742292--1.15744218) × R
    1.92600000001875e-05 × 6371000     		dl = 122.705460001194m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15742292--1.15744218) × R
    1.92600000001875e-05 × 6371000     		dr = 122.705460001194m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70871079-1.70875872) × cos(-1.15742292) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.40170087567228 × 6371000     		do = 122.66419484814m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70871079-1.70875872) × cos(-1.15744218) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.401683237849556 × 6371000     		du = 122.658808926788m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15742292)-sin(-1.15744218))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.40170087567228-0.401683237849556)×R²
    abs(1.70875872-1.70871079)×1.76378227236818e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.76378227236818e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.76378227236818e-05×40589641000000     		ar = 15051.236014025m²